2019-2020学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 命题“f(x)>0(x ∈R)恒成立”的否定是( )A. ∀x ∈R ，f(x)<0B. ∀x ∈R ，f(x)≤0C. ∃x ∈R ，f(x)<0D. ∃x ∈R ，f(x)≤02. 已知全集U =R ，集合M ={y|y =√4−x 2,x ∈R}，N ={x|2x−1≥1,x ∈R}，则M ∩(∁U N)等于( )A. [−2,2]B. [−2,1)C. [1,4]D. [0,1) 3. 已知a >b >0，c >1，则下列各式成立的是( )A. sina >sinbB. c a >c bC. a c <b cD.c−1b<c−1a4. 已知：f(x)={2x−2 (x ≤2)log 2(x −1) (x >2)， 则f [f (5)] 等于( )． A. −2 B. −1 C. 1 D. 25. 如图，正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，沿AE,EF,FA 将正方形折起，使 B,C,D 重合于点O ，构成四面体 A −OEF ，则四面体 A −OEF 的体积为( )A. 13B. √23C. 12D.√566. 设f(x)=x 2−4x(x ∈R)，则f(x)>0的一个必要而不充分的条件是( )A. x <0B. x <0或x >4C. |x −1|>1D. |x −2|>37. 已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是( )A. α⊥β，α∩β=a ，a ⊥b ，则b ⊥αB. α⊥β，β⊥γ，则α//γC. α∩β=a ，β∩γ=b ，α⊥β，则a ⊥bD. α//β，β⊥γ，则α⊥γ8. 已知x >0，y >0，2x +3y +3xy =6，则2x +3y 的最小值是( )A. 3B. 4C. 92D. 1129. 如果直线m//平面α，直线n ⊂平面α，则下列说法正确的为( )A. 有且只有一个平面β，使得m ⊥β，且n ⊂βB. 有无数个平面β，使得m ⊥β，且n ⊂βC. 不存在平面β，使得m⊥β，且n⊂βD. 至多有一个平面β，使得m⊥β，且n⊂β10.若f(x)=e xx，1<a<b，则()A. f(a)>f(b)B. f(a)=f(b)C. f(a)<f(b)D. f(a)f(b)<111.在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1−y)，若不等式成立，则实数a的取值范围是()A. −1<a<1B. 0<a<2C. −12<a<32D. −32<a<1212.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的六个顶点都在同一球面上，且AB=3，BC=5，AC=7，AA1=2则该球的表面积为()A. 83πB. 2083π C. 7963π D. 20π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长VA=3，点C在母线VB上，且VC=1，则该圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角等于______ 的扇形，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是_______．14.已知实数x,y满足y=22−log2x，则2x +1y的最小值为___________．15.函数f(x)=log2(x2−ax+3a)在[2,+∞)上是增函数，则a的取值范围是______ ．16.已知正四面体ABCD的外接球的表面积为16π，则该四面体的棱长为．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知幂函数f(x)=x(m2+m)−1(m∈N∗)，经过点(2,√2)，试确定m的值，并求满足条件f(2−a)>f(a−1)的实数a的取值范围．18.解关于x的不等式：axx+1<1．19.如图，直角梯形ABCD与等腰真角三角形ABE所在的平面互相垂直．∠AEB=π，AB//CD，AB⊥2 BC，AB=2CD=2BC．(1)求证：AB⊥DE；(2)求证：平面AED⊥平面BCE；(3)线段EA上是否存在点F，使EC//平面FBD？若存在，求出EF的值；若不存在，说明理由．EA20.某企业拟在2014年度进行一系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3−x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件．已知2014年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．(Ⅰ)将2014年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；(Ⅱ)该企业2014年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？(注：利润=销售收入−生产成本−促销费，生产成本=固定费用+生产费用)21.如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．(Ⅰ)求证：AE⊥平面BCE；(Ⅱ)求证；AE//平面BFD；(Ⅲ)求三棱锥C−BGF的体积．22.已知函数f(x)=−x+log21−x1+x．(1)求f(12016)+f(−12016)的值；(2)当x∈[−a,a](其中a∈(0,1)且a是常数)时，f(x)是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“f(x)>0(x∈R)恒成立”的否定是：∃x∈R，f(x)≤0．故选：D．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．2.答案：D解析：解：∵集合M={y|y=√4−x2,x∈R}=[0，2]，∵2x−1≥=1=20，∴x≥1，∴N=[1,+∞)，∴∁R N=(−∞,1)，∴M∩(∁U N)=[0,1)，故选D．求出M中的值域确定集合M，根据不等式的解集定出N，根据全集U=R求出N的补集，找出N补集与M的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查不等式的性质和函数的单调性，为基础题．利用函数单调性以及特殊值对选项进行一一分析即可．【解答】解：因为y=sinx为周期函数，当a>b时，sin a与sin b的大小不确定，故A错误；因为c>1，所以函数y=c x在R上单调递增，因为a>b,所以c a>c b，故B正确；因为a>b>0，c>1，当a=2，b=1，c=2时，22>12，故C错误；因为a>b>0，c>1，当a=12,b=13，c=2时，3>2，故D错误；故选B．4.答案：C解析：【分析】本题考查了分段函数的求值，根据所给的函数解析式，分段求解即可．【解答】解：，故选C．5.答案：A解析：【分析】本题考查几何体体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．由题意画出图形，可得三棱锥的底面三角形OEF是等腰直角三角形，直角边长为1，三棱锥的高AO= 2，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：翻折前，AB⊥BE，AD⊥DF，故翻折后，OA⊥OE，OA⊥OF，又OE∩OF=O，∴OA⊥平面EOF，底面三角形OEF是等腰直角三角形，直角边长为1，三棱锥的高AO=2，∴V A−OEF=13×12×1×1×2=13．故选：A．6.答案：C解析：【分析】本题考查了不等式的性质与解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，利用不等式的解法、充要条件的判定方法即可得出．属于基础题．【解答】解：由f(x)=x2−4x>0，解得x>4，或x<0．由|x−1|>1，解得x<0或x>2．由|x−2|>3，解得x<−1或x>5．∴f(x)>0的一个必要而不充分的条件是|x−1|>1，故选C．7.答案：D解析：【分析】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面平行和线面垂直的判定方法，性质及几何特征，是解答的关键．属于基础题．根据空间线面平行和线面垂直的判定方法，性质及几何特征，逐一分析四个答案中推理过程及结论的正误，可得答案．【解答】解：若α⊥β，α∩β=a，a⊥b，则b与α的关系不确定，故A错误；若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能平行也可能相交(此时交线与β垂直)，故B错误；若α∩β=a，β∩γ=b，α⊥β，则a与b可能平行，也可能相交，故C错误；若α//β，根据两个平行平面与第三个平面的夹角相等，结合β⊥γ可得α⊥γ，故D正确．故选：D．8.答案：B解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属基础题．将2x+3y+3xy=6变形，利用a>0,b>0,a+b≥2√ab(当且仅当a=b时取等号)求最值．【解答】解：∵x>0，y>0，2x+3y+3xy=6，6=2x+3y+3xy=2x+3y+12·2x·3y≤2x+3y+12·(2x+3y2)2(当且仅当2x=3y时取等号)，∴(2x+3y)2+8(2x+3y)−48≥0，∴(2x+3y+12)·(2x+3y−4)≥0，∵x>0,y>0，∴2x+3y≥4，即(2x+3y)min=4．故选B．9.答案：D解析：解：若存在m⊥β，且n⊂β，则m⊥n，∴m⊥n时，有一个平面β，使得m⊥β，且n⊂β，故选：D．若存在m⊥β，且n⊂β，则m⊥n，即可得出结论．本题考查线面垂直的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．10.答案：C解析：解：f(x)=e x x，1<a <b ，则f′(x)=x⋅e x −e xx 2=e x (x−1)x 2，显然，当x >1时，f′(x)>0，故f(x)在(1,+∞)上是增函数， 故A 、B 错误，C 正确．再根据f(a)>f(1)=e ，f(b)>f(1)=e ，可得f(a)⋅f(b)>e 2，故D 错误， 故选：C ．当x >1时，求得f′(x)>0，可得f(x)在(1,+∞)上是增函数，再结合f(a)>f(1)=e ，f(b)>f(1)=e ，从而得出结论．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于基础题．11.答案：C解析： 【分析】本题考查了在新定义下对函数恒成立问题的应用，关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．先利用定义把(x −a)⊗(x +a)整理成−(x −12)2+a 2−a +14，即把原不等式转化为 a 2−a +14<1恒成立来求a 即可． 【解答】解：由题知(x −a)⊗(x +a)=(x −a)[1−(x +a)]=−x 2+x +a 2−a =−(x −12)2+a 2−a +14． ∴不等式(x −a)⊗(x +a)<1对任意实数x 都成立转化为−(x −12)2+a 2−a +14<1对任意实数x 都成立， 则△<0，即a 2−a +14<1恒成立， 解可得−12<a <32． 故选C ．12.答案：B解析： 【分析】本题考查了三棱柱和球的结构特征，通过已知条件求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O′，球心为O ，再求出球的半径，然后求出球的表面积． 【解答】解：∵在△ABC 中AB =3，BC =5，AC =7，，则∠ABC =120°，由正弦定理，可得△ABC 外接圆半径，∴易得球半径R =(7√33)(AA 12)=√523，∴此球的表面积为4πR 2=2083π．故选B ．13.答案： 2π3； √7解析： 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图中弧长公式，以及侧面展开图中两点间的最短距离的求法． 【解答】解：∵圆锥的底面直径AB =2，母线长VA =3， ∴该圆锥的侧面展开图是半径为3，弧长为l =2π×AB 2=2π×22=2π的扇形，∴扇形的圆心角为2π3；∵蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到点C ，∴最短距离为侧面展开图ΔVAC 中边长AC ，且VA =3，VC =1，∠AVC =π3∴由余弦定理，得AC =√VA 2+VC 2−2VA ·VCcos∠AVC =√9+1−2×3×1×12=√7．故答案为 2π3； √7 ．14.答案：√2解析： 【分析】本题主要考查利用j 基本不等式求最值 实数x ，y 满足y =22−log 2x ，可得y =222log 2X =4x，即xy =4，再利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：已知x,y 满足y =22−log 2x ∴y =222log 2X =4x ，即xy =4， 则2x +1y ≥2√2x ·1y =2√24=√2， 当且仅当x =2y =2√2时取等号，故答案为√2．15.答案：−4<a≤4解析：解：依题意函数f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数，所以应有{a2≤222−2a+3a>0，解得−4<a≤4，此即为实数a的取值范围．故答案为−4<a≤4，依题意，函数f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数，须考虑两个方面：一是结合二次函数x2−ax+3a的单调性可；二是对数的真数要是正数．本题结合对数函数的单调性，考查复合函数的单调性的求解，还考查了二次函数在区间上单调，但不要忽略了函数的定义域，即本题中的4−2a+3a>0的条件．16.答案：4√63解析：【分析】本题考查外接球知识，属于中档题．将正四面体放入正方体中分析即可．解析：解：将正四面体放入正方体中，设该正方体的棱长为a，表面积为16π的球的半径为2，则√3a=4，解得a=4√33，故该四面体的棱长为√2a=4√63．故答案为4√63．17.答案：解：∵幂函数f(x)经过点(2,√2)，∴√2=2(m2+m)−1，即212=2(m2+m)−1∴m2+m=2.解得m=1或m=−2．又∵m∈N∗，∴m=1．∴f(x)=x12，则函数的定义域为[0,+∞)，并且在定义域上为增函数．由f(2−a)>f(a−1)得{2−a≥0a−1≥02−a>a−1解得1≤a<32．∴a的取值范围为[1,32).解析：先根据幂函数的定义求出m的值，再根据幂函数的单调性得到不等式组，解得即可．本题主要考查了幂函数的性质，以及不等式组的解法，属于基础题．18.答案：解：不等式可变形为(a−1)x−1x+1<0，当a=0时，x∈R．当a=1时，−1x+1<0，x>−1．当1a−1<−1即0<a<1时，1a−1<x<−1．当1a−1>−1即a<0或a>1时，−1<x<1a−1．综上可得，当a=0时，不等式的解集为R；当a=1时，不等式的解集为{x|x>−1}；当0<a<1时，不等式的解集为{x|1a−1<x<−1}；当a<0或a>1时，{x|−1<x<1a−1}.解析：本题主要考查分式不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．不等式可变形为(a−1)x−1x+1<0，分a=0、a=1、0<a<1、a<0或a>1四种情况，分别求出不等式的解集．19.答案：证明：(1)取AB中点O，连结EO，DO，由等腰直角三角形ABE得：∵EB=EA，EA⊥EB，∴EO⊥AB，∵四边形ABCD是直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，∴四边形OBCD是正方形，∴AB⊥OD，OD∩OE=O，∴AB⊥平面EOD，∴AB⊥ED．(2)∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，且AB⊥BC，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE，∵EA⊥EB，BC∩BE=B，∴AE⊥平面BCE，AE⊂平面AED，∴平面AED⊥平面BCE．解：(3)存在点F，且EFEA =13时，有EC//平面FBD．连结AC ，交BD 于M ，∵四边形ABCD 为直角梯形，AB =2CD =2BC ， ∴CM MA =CD AB =12， 又EF FA =12，∴CM MA =EF FA ，∴CE//FM ，∵CE ⊄平面FBD ，FM ⊂平面FBD ，∴EC//平面FBD ．解析：(1)取AB 中点O ，连结EO ，DO ，推导出EO ⊥AB ，AB ⊥OD ，从而AB ⊥平面EOD ，由此能证明AB ⊥ED ．(2)推导出BC ⊥平面ABE ，BC ⊥AE ，EA ⊥EB ，从而AE ⊥平面BCE ，由此能证明平面AED ⊥平面BCE ．(3)连结AC ，交BD 于M ，推导出CE//FM ，由此能证明EC//平面FBD ．本题考查线线垂直、面面垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20.答案：解：(Ⅰ)由题意：3−x =k t+1，将t =0，x =1代入得k =2，∴x =3−2t+1，(Ⅱ)当年生产x(万件)时，年生产成本=32x +3=32(3−2t+1)+3，当销售x(万件)时，年销售收入=150%[32(3−2t+1)+3]+12t由题意，生产x 万件产品正好销完，∴年利润=年销售收入−年生产成本−促销费 ，即y =−t 2+98t+352(t+1)(t ≥0)；y =−t 2+98t+352(t+1)=50−(t+12+32t+1) ∵ t+12+32t+1 ≥2√t+12√32t+1=8 ，∴t =7时等号成立 ∴ y ≤42，此时t =7，y max =42．解析：本题主要考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．(Ⅰ)根据3−x 与t +1成反比例，当年促销费用t =0万元时，年销量是1万件，可求出k 的值；进而通过x 表示出年利润y ，并化简整理，代入整理即可求出y 万元表示为促销费t 万元的函数； (Ⅱ)利用基本不等式求出最值，即可得结论．21.答案：解：(Ⅰ)证明：∵AD ⊥平面ABE ，AD//BC ，∴BC ⊥平面ABE ，∵AE⊂平面ABE，则AE⊥BC；又∵BF⊥平面ACE，∵AE⊂平面ACE，则AE⊥BF；∵BC∩BF=B，BC，BF⊂平面BCE，∴AE⊥平面BCE；(Ⅱ)证明：连接GF，依题意可知：G是AC中点，∵BF⊥平面ACE，CE⊂平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．故在△AEC中，FG//AE且FG=12AE，∵AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，∴AE//平面BFD；(Ⅲ)解：由(2)知AE//FG，而AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF，且FG=12AE=1，∵BF⊥平面ACE，CE⊂平面ACE，∴BF⊥CE．∴Rt△BCE中，BF=CF=12CE=√2．∴S△CFB=12×√2×√2=1，∴V C−BFG=V G−BCF=13⋅S△CFB⋅FG=13．解析：本题考查线面平行与垂直的证明方法，利用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．(1)先证明AE⊥BC，再证AE⊥BF，由线面垂直的判定定理证明结论；(2)利用F、G为边长的中点证明FG//AE，由线面平行的判定定理证明结论；(3)运用等体积法，先证FG⊥平面BCF，把原来的三棱锥的底换成面BCF，则高就是FG，代入体积公式求三棱锥的体积．22.答案：解：(1)∵f(x)=−x+log21−x1+x，f(−x)=x+log21+x1−x =x−log21−x1+x，∴f(−x)+f(x)=0，故f(12016)+f(−12016)=0；(2)f(x)=−x+log21−x1+x =−x+log2(21+x−1)，由复合函数的单调性知，f(x)在[−a,a]上是减函数；故f min(x)=f(a)=−a+log21−a1+a．解析：(1)化简f(x)=−x+log21−x1+x ，f(−x)=x+log21+x1−x=x−log21−x1+x，从而判断出函数为奇函数；从而解得；(2)化简f(x)=−x+log21−x1+x =−x+log2(21+x−1)，从而判断函数的单调性，从而解得．本题考查了函数的奇偶性与单调性的判断与应用．。