∴a3a4// ɑ 同理 b3b4// ɑ
∵a3a4，b3b4都在平面ɑ上且不平行 ∴ɑ//β
所知:驱动臂长度为Lb、从动臂长度为 La、ΔB1B2B3的外切圆半径为R，ΔP1P2P3 的 外 切 圆 半 径 为 r 、 O' 的 坐 标 为 （X,Y,Z）；
所 求 : 三 个 伺 服 电 机 的 转 动 角 度 θi （i=1,2,3），θi为第i个伺服电机驱动臂对 基座平台的夹角。
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工作过程:伺服电机驱动主动臂转动，并 带动从动臂，进而实现动平台的三维平动。
➢ 动平台只能平动，不可旋转； ➢ 动平台为等边三角形，自由度为3；
a1 a2
b3 a3 a4 b4
b1 b2
设静平台为平面ɑ，动平台为平面β。 ∵a1a2// a3a4, a1a2 // ɑ
Lb sini
·E3'
Pi之间的距离为 ：(x2x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2
2tan θi
万
sinθi
1
2 tan 2 θi
能 代 换 式
2
1 tan 2 θi
cosθi
1
tan 2
2 θi
2
2tan 2 θi
Delta空间反解
上端的等边三角形为静平台，下端的等边三角形为
动平台，动静平台之间的每条支链主要有伺服电动机，
驱动臂(主动杆)，从动臂（四个球铰副及四根连杆构成
的平行四边形）。
E1
B1
B3
E2 P2
B2
P1 P3
E3
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模型简化图
三维直角坐标系以静平台上三个电机安装处围成的等边 三角形ΔB1B2B3的外切圆圆心为坐标原点O，以垂直于线 段B1B3的方向为X轴正方向，垂直于B1B2的方向为Y轴正 方向，按照右手定则构建静态空间直角坐标系。同理， 以等边三角形ΔP1P2P3的外切圆圆心为坐标原点O'，以 垂直于线段B1B3的方向为X'轴正方向，垂直于P1P2的方 向为Y'轴正方向，按照右手定则构建动态空间直角坐标 系。设静平台上的伺服电机安装处为Bi (i=1,2,3)，平 行四边形的两个平行长杆等效为一个虚拟连杆，如图所 示 ， 设 等 效 的 虚 拟 连 杆 的 顶 点 为 Ei(i=1,2,3) ， Pi (i=1,2,3)，模型图如图所示
2a
BC
tan i A A2 B2 C 2
2
BC
θ1有两组解,θ2有两组解, θ3有两组解, 所以共有8组解；
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Y
B1
在极坐标下，Bi的极坐标为
X
(R,Ø i）,i=1,2,3,Ø i=
2(i 1) 33
在空间直角坐标系下，位于坐标
O
B2
面XOY上的点Bi的坐标为:
B3
(RcosØ i,RsinØ i,0)，
Ø
i=
3
2(i 3
1)
Y
在极坐标下，Pi的极坐标为 （r,Ø i）,i=1,2,3;Ø i= 2(i 1)
33 在原点为O'的空间直角坐标系下，位于坐标面
X'O'Y'上的点Pi的坐标 为:(rcosØ i,rsinØ i,,0)T,i=1,2,3;
P2
Ø i= 2(i 1)
33
又∵O'的坐标在以O为坐标原点的坐标系下的坐
P1
X
O'
P3
标为(x,y,z)T,
rcosi x
∴以O为原点的空间直角坐标系下，Pi的坐标为
tanθi
1
2 tan 2 θi
2
由已知条件从动杆长度为La，知 |PiEi|=La 根据空间中两点之间的距离公式可列得关于θi 的方程。
rcosi x
Pi
rsini
y
z
(Lb cosi R) cosi
Ei
(Lb
cosi
R) sin i
Lb sini
由|PiEi|2=La2,两点间距离公式,万能公式得 at2+bt+c=0,其中t= tan θi
rsini
y
z
Bi Θ Lb Ei Y
B2
· E2
Ei的z坐标简单，显然为-
Lbsinθi
求Ei的X坐标和Y坐标应当将 其投影到XOY坐标面内；
· E1'
极坐标系下，其角度与Bi
同，其X与Y的坐标类似Bi
B1
X
的求法。
(Lb cosi R) cosi
O
B3
(Lb
cosi
R)
sini
2
跟据求根公式可以求出t的值，
则θi=2arctant
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A 2Lb[R r (xcosi ysini)] B 2LbZ C x2 y2 z2 (R r)2 Lb2 La2 2(R r)(x cos i y sin i )
aBC b 2A c BC
t b b2 4ac A A2 B2 C2