归纳柯西不等式的典型应用 归纳柯西不等式的典型应用 【摘要】：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的

方法证明了柯西不等式，介绍了如何利用柯西不等式技巧性解题，在证明不等式或等式，解方程，解三角形相关问题，求函数最值等问题的应用方面给出几个典型例子。最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 【关键词】：柯西不等式 ；证明；应用

【引言】：本人通过老师在中教法课上学习柯西不等式时，老师给出

了一些有关的例题并讲解，由于柯西不等式是一个非常重要的不等式，如果巧妙利用它，在高考可以节省很多宝贵时间，而且得分率高。因此，本文介绍归纳了柯西不等式的典型应用，经过收集及整理资料，得到四类的典型题。 【正文】： 1.柯西不等式的一般形式为： 对任意的实数 nnbbbaaa,,,,,,2121 2

22112222122221)(nnnnbabababbbaaa

其中等号当且仅当nnbababa2211时成立,其中R 变式：222112121)(nnnnyxyxyxyyyxxx 2. 柯西不等式的证明： 证明柯西不等式的方法总共有6 种，下面我们将给出常用的2种证明柯西不等式的方法： 1）配方法： 作差：因为222111()()()nnnijiiijiabab

221111()()()()nnnnijiijjijijababab



221111nnnnijiijjijijababab



22221111111(2)2nnnnnnijjiijjiijijijabababab



2222111(2)2nnijijjijiijabababab



2111()02nnijjiijabab



所以222111()()()nnnijiiijiabab0，即222111()()()nnnijiiijiabab 即222222211221212()()()nnnnabababaaabbb……………… 当且仅当0(,1,2,,)ijjiababijn……

即(1,2,,;1,2,,;0)jijijaainjnbbb…………时等号成立。 2）用数学归纳法证明 i）当1n时，有2221112()abab，不等式成立。 当2n时，22222112212221122()2abababababab 222222222222121211221221()()aabbabababab

。

因为2222122111222abababab，故有2222211221212()()()ababaabb 当且仅当1221abab，即1212aabb时等号成立。 ii）假设nk时不等式成立。即222222211221212()()()kkkkabababaaabbb………………

当且仅当1212nnaaabbb……时等号成立。 那么当1nk时， 2112211()kkkkabababab……

222112211112211()2()kkkkkkkkabababababababab…………

22222222121211112211()()2()kkkkkkkkaaabbbababababab………………

2222222222222222121211111111()()kkkkkkkkkkaaabbbabbaabbaab………………

222222121121()()kkaaabbb…………

2222221212()()nnaaabbb…………

当且仅当1111212111,,,kkkkkkkkabbaabbaabba……时等号成立，

即112121kkkkaaaabbbb……时等号成立。 于是1nk时不等式成立。 由i）ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。 3. 柯西不等式在解题中的应用 3.1证明恒等式 利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要 条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法得证。 例3.1.1 已知,11122abba求证：122ba。 证明：由柯西不等式，得 111)11(2222222bbaaabba

由已知,11122abba则可知上式取等号，当且仅当

abab2211

时

,1122baab ,112222baba

于是 122ba 。

3.2证明不等式 很多重要的不等式都可以由柯西不等式导出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，下面略举一、二说明怎样利用柯西不等式证明不等式。 例3.2.1已知12,,,naaa……为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数n，有不等式12222111122naaann…………。 证明：由柯西不等式： 211(1)2n……122

12111()12nn

aaa

naaa

……

1222212111()()12nn

aaa

naaa………… 于是1222212111112(1)111122nnaaannnaaa……………………。 又因为12,,,naaa……为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于1，次小的数不小于2，最大的不小于n，这样就有

1211121111nnaaa

……

……。

所以有1211111112(1)111122nnnnaaa……………………。 因为1222212111112(1)111122nnaaannnaaa…………………… 而1211111112(1)111122nnnnaaa…………………… 所以有12222111122naaann…………。 例3.2.2：设a,b,c为正数且不相等到，求证： cbaaccbba9222

证明：我们利用9与2这两个常数进行巧拆，9=2111，accbbacba2

这样就给我们利用柯西不等式提供了条件。 明：2cbaaccbbaacaccbcbbabaaccbbaaccbbaaccbbaaccbbaaccbbacba••••••9222911111111111111122222222 因为a,b,c各不相等，  等号不可能成立，从而原不等式成立。

因此，有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，认清其内在的结构特征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的。下面略举一例加以说明。

3.3证明条件不等式 柯西不等式中有三个因式niia12 ，niib12 ，niiiba1而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中诸量ia ，ib 具有广泛的选择余地，任意两个元素 ia ，ja （或ib ，jb ） 的交换，可以得到不同的不等 式，因此在证题时根据需要重新安排各量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的方便。这种变换也是运用柯西不等式的一种技巧，下面我们简单举例说明怎样利用上述技巧运用柯西不等式来证明条件不等式。

例3.3.1 设Rdcb,,,a,且5632a3,dcba2222dcb，求证：21a 解：由3dacb 则 adcb3

由2222563b2adc 且应用柯西不等式 2222)()613121)(632(dcbdcb 即 22315aa• 故 21a

例3.3.2 已知ba,R，1ba,,,21Rxx 求证：212121xxaxbxbxax• 分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论。若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了。 证明：2121axbxbxax• ＝1221bxaxbxax• 2

2121xxbxxa

＝21212xxxxba 。 3.4解方程组