中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案

高等数学(专科)

一、填空题：

1.函数1142xxy的定义域是 。

解：),2[]2,( 。

2.若函数52)1(2xxxf，则)(xf 。

解：62x

3.sinlimxxxx 。

答案：1

正确解法：101sinlim1lim)sin1(limsinlimxxxxxxxxxxx

4.已知22lim222xxbaxxx，则a_____, b_____。

由所给极限存在知，024ba，得42ab，

又由23412lim2lim2222axaxxxbaxxxx, 知8,2ba

5.已知)1)((lim0xaxbexx，则a_____, b_____。

)1)((lim0xaxbexx, 即01)1)((lim0babexaxxx，∴0,1ab

6.函数0101sin)(xxxxxxf的间断点是x 。

解：由)(xf是分段函数，0x是)(xf的分段点，考虑函数在0x处的连续性。

因为 1)0(1)1(lim01sinlim00fxxxxx

所以函数)(xf在0x处是间断的，

又)(xf在)0,(和),0(都是连续的，故函数)(xf的间断点是0x。

7.设nxxxxy21, 则1ny(1)!n 8.2)(xxf，则__________)1)((xff。

答案：2)12(x或1442xx

9.函数2224ln(1)xyxyz的定义域为 。

解：函数z的定义域为满足下列不等式的点集。

1040141101042222222222222yxxyyxyxxyyxyxyx

z 的定义域为：10|),(22yxyx且xy42}

10.已知22),(xyyxyxyxf,则),(yxf .

解：令xyu，xyv，则,22uvuvxy，()()()fxyxyxyxy

)(4222),(22vuuuvuvuvuf，22(,)()4xfxyxy

11.设22),(yxxxyyxf,则)1,0(xf 。)1,0(yf

∵ (0,1)000f

2000(,1)(0,1)1(0,1)limlim2xxxxxfxfxfxx

00(0,1)(0,1)00(0,1)limlim0yyyfyffyy。

12.设,,cos,sin32tytxyxz则tzdd＝ 。

解：22sin3cosdzxttydt

13.dxxfdddxd)( 。

解：由导数与积分互为逆运算得，)()(xfdxxfdddxd。

14.设)(xf是连续函数，且xdttfx1

0 3)(，则)7(f 。 解：两边对x求导得1)1(332xfx，令713x，得2x，所以12131)7(22xxf.

15.若21de0xkx，则_________k。

答案：∵)d(e1limde2100kxkxbkxbkx

kkkkkbbbkxb1e1lim1e1lim0

∴2k

16.设函数f(x,y)连续，且满足Dydyxfxyxf2),(),(，其中,:222ayxD则f(x,y)=______.

解：.4442xay

记DdyxfA),(，则2),(yAxyxf，两端在D上积分有：DDdyAxdA2，其中DxdA0（由对称性），aDadddy0423202.4sin

即 44aA，所以，.4),(42xayyxf

17.求曲线2,422ayxaxy所围成图形的面积为 ，（a>0）

解：223a

18.122212nnnxn；

解：令2xy，则原幂级数成为不缺项的幂级数11212nnnyn，记其各项系数为nb，因为21212lim2122212limlim11nnnnbbRnnnnnnn，则20222xy，

故22x.

当2x时，幂级数成为数项级数1)12(21nn，此级数发散，故原幂级数的收敛区间为)2,2(. 19.02yy的满足初始条件411,1211yy的特解为321121xy。

20.微分方程03yy的通解为xeccy321.

21.微分方程0136yyy的通解为xcxceyx2sin2cos213。

22.设n阶方阵A满足|A|=3，则=|AA|= .

答案：311n

23.11111111x是关于x的一次多项式，则该多项式的一次项系数是 .

答案： 2;

24.f(x)=是 次多项式，其一次项的系数是 。

解：由对角线法则知，f(x)为二次多项式，一次项系数为4。

25.A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为 AB+BC+AC .

26.事件A、B相互独立，且知0.2,0.5PAPB则PAB .

解：∵A、B相互独立， ∴P(AB)=P(A)P(B)

∴P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.2+0.5–0.1=0.6

27.A，B二个事件互不相容，0.8,0.1,PAPB则PAB .

解：A、B互不相容，则P(AB)=0，P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.8

28.对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 .

解：设A、B、C分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标可表示为CBACBACBA，即有

P(CBACBACBA)

=P(A))()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBP=0.36

29.已知事件 A、B的概率分别为P（A）＝0.7,P（B）＝0.6,且P（AB）＝0.4，则P（AB）＝ ；P（AB－）＝ ；

解：P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.9

P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.7–0.4=0.3

30.若随机事件A和B都不发生的概率为p，则A和B至少有一个发生的概率为 .

解：P(A+B)=1–PpBAPBA1)(1)( 二、单项选择题：

1.函数)1,0(11)(aaaaxxfxx（ ）

A.是奇函数 B.是偶函数；

C.既奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数

解：利用奇偶函数的定义进行验证。

)(11)1()1(11)()(xfaaxaaaaxaaxxfxxxxxxxx

所以B正确。

2.若函数221)1(xxxxf，则)(xf（ ）

A.2x B. 22x C.2)1(x D.12x

解：因为2)1(212122222xxxxxx，所以2)1()1(2xxxxf

则2)(2xxf，故选项B正确。

3.设1)(xxf ，则)1)((xff=（ ）．

A． x B．x + 1 C．x + 2 D．x + 3

解：由于1)(xxf，得 )1)((xff1)1)((xf＝2)(xf

将1)(xxf代入，得)1)((xff=32)1(xx

正确答案：D

4.已知0)1(lim2baxxxx，其中a,b是常数，则（ ）

(A) 1,1ba, (B) 1,1ba

(C) 1,1ba (D) 1,1ba

解：011lim)1(lim22xbxbaxabaxxxxx,

1,1,0,01babaa 答案：C

5.下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。

A.e1xx,() B.sin,()xxx；

C.ln(),()11xx D.xxx110,() 解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以0sinlimxxx

而A, C, D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确。

6.下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ）

(A))(1sinxxxy; (B))(1nnyn;

(C))0(lnxxy； (D))0(1cos1xxxy

解：111sinlim1sinlimxxxxxx,故不选(A)。取12km,则0121limlim1knknn,

故不选(B)。取21nxn, 则01cos1limnnnxx,故不选(D)。答案：C

7.设0,0,1sin)(xxxxxxf，则)(xf在0x处（ ）

A.连续且可导 B.连续但不可导 C.不连续但可导 D.既不连续又不可导

解：（B）

0lim)(lim00xxfxx，01sinlim)(lim00xxxfxx，0)0(f

因此)(xf在0x处连续

xxxxxfxffxxx1sinlim001sinlim0)0()(lim)0(000，此极限不存在

从而)0(f不存在，故)0(f不存在

8.曲线xxy3在点（1，0）处的切线是（ ）．

A.22xy B.22xy C.22xy D.22xy

解：由导数的定义和它的几何意义可知，

13)()1(xxxy2)13(12xx

是曲线xxy3在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是

)1(20xy，即22xy

正确答案：A