图1.1 系统的两种基本描述 (a) 外部描述；(b) 内部描述
线性系统理论
系统描述中常用的几个基本概念
无论是外部描述还是内部描述，下列概念是常用的， 现给出定义以有助于理解系统性质及系统分类。
松弛性
系统在时刻 t0 称为松弛的，当且仅当输出 y[t0, )由输 入 u[t0,)唯一确定。从能量的观点看，在时刻 t0不存在存 储能量，则称系统在时刻 t0是松弛的。式中 u[t0,)表示定 义在时间区间[t0,) 的输入。
线性系统理论
例如一个RLC网络，若所有电容两端的电压和流过电 感的电流在 t0 时刻均为零（即初始条件为零），则网络称 为在 t0 时刻是松弛的。若网络不是松弛的，其输出响应 不仅由 u[t0,)所决定，还与初始条件有关。
在松弛性假定下，系统得输入-输出描述有
y Hu
（1.1）
式中 H是某一算子或函数，例如传递函数就是一种算子。
线性系统理论
线性
一个松弛的系统称为线性的，当且仅当对于任何输入
u1 和 u2 ，以及任何实数 ，均有
H (u1 u2 ) Hu1 Hu2
H ( u1) Hu1
（1.2） （1.3）
否则称为非线性的。式（1.2）称为可加性，式（1.3）称 为齐次性。松弛系统具有这两种特性，称该系统满足叠加 原理。
第一章 线性系统的状态空间描述
为了分析研究系统，建立描述系统的数学方程是首要 的。经典控制理论中的时间域理论对单输入-单输出线性 定常系统用高阶微分方程或传递函数来描述输入-输出变 量间的因果关系，分析的主要方面限于运动的稳定性，不 便用来综合系统。 20世纪60年代以后，现代线性系统理 论又有了新发展，出现了线性系统几何理论、线性系统代 数理论和多变量频域方法等研究多变量系统的新理论和新 方法。
系统的状态空间描述 化输入-输出描述为状态空间描述 由状态空间描述导出传递函数矩阵 线性系统的坐标变换 组合系统的状态空间方程与传递函 数矩阵
线性系统理论
1.1 系统的状态空间描述
系统数学描述的两种基本类型 这里所谓的系统是泛 指一些互相作用的部分构成的整体，它可能是一个反馈控 制系统，也可能是某一控翻装置或受控对象。所研究系统 均假定具有若干输入端和输出端。外部环境对系统的作用
线性系统理论
与经典线性控制理论相比，现代线性系统主要特点是：研 究对象一般是多变量线性系统，而经典线性理论则以单输 入单输出系统为对象；除输入和输出变量外，还描述系统 内部状态的变量；在分析和综合方面以时域方法为主而经 典理论主要采用频域方法；使用更多数据工具。
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线性系统理论
线性系统理论
线性系统理论
随着计算机技术的发展，以线性系统为对象的计算方法 和计算辅助设计问题也受到普遍的重视。运用状态空间法 研究系统是现代控制理论的重要标志，状态空间方程是现 代控制理论的最基本的数学模型。本章主要介绍状态空间 描述的基本概念以及建立状态空间方 §1.3 §1.4 §1.5
线性系统理论
系统的两种基本描述的结构示意图见图1.1。以后的研究 可看出，外部描述通常是一种不完全的描述，具有完全不 同的内部结构特性的两个系统可能具有相同的外部特性， 而内部描述是一种完全的描述，能完全表示系统的一切动 态特性。仅当系统具有一定属性的条件下，两种描述才具 有等价关系。
线性系统理论
线性系统理论
一为系统的内部描述，即状态空间描述，这种描述将 系统视为由动力学部件和输出部件组成，将系统的动态过 程细化为两个过程，即输入引起内部状态的变化，
(x1, , xn) 和 (u1, ,up) 间的因果关系常用一阶微分方程组或 差分方程组表示，称为状态方程；还有内部状态和输入一 起引起输出的变化，(y1, , yq ) 和 (x1, , xn ) 、(u1, ,up ) 间的因果 关系是一组代数方程，称为输出方程。外部描述仅描述系 统的终端特性，内部描述则是既描述系统内部特性又描述 终端持性的。
线性系统理论
美国学者R.E.卡尔曼首先把状态空间法应用于多变量线性 系统的研究，提出了能控性和能观测性两个基本概念。 20世纪60年代以后，现代线性系统理论又有了新发展，出 现了线性系统几何理论、线性系统代数理论和多变量频域 方法等研究多变量系统的新理论和新方法。随着计算机技 术的发展，以线性系统为对象的计算方法和计算辅助设计 问题也受到普遍的重视。
线性系统理论
式（1.2 ）和式（1.3） 可合并表示为
线性系统理论
讲授： 作者： 出版：西北工业大学出版社
线性系统理论
简介： 线性系统理论（linear systems theory）以状态空
间法为主要工具研究多变量线性系统的理论。20世纪50年 代以后，随着航天等技术发展和控制理论应用范围的扩大， 经典线性控制理论的局限性日趋明显，它既不能满足实际 需要，也不能解决理论本身提出的一些问题，这就推动了 线性系统的研究，于是在1960年以后从经典阶段发展到现 阶段。
称为系统输入，以向量 u [u1 up]T 表示，施于输入端；系 统对外部环境的作用称系统输出，以向量y [y1 yq]T表示，
可在输出端量测，它们均为系统的外部变量。
线性系统理论
描述系统内部所处的行为状态的变量以向量 x [x1 xn]T表
示，它们为内部变量。系统数学描述通常可分为下列两种 基本类型：一为系统的外部描述，即输入-输出描述，这 种描述将系统看成是一个“黑箱”，只能接触系统的输入 端和输出端，不去表示系统内部的结构及变量，只从输入 -输出的因果关系中获悉系统特性。若系统是一个单输入单输出线性定常系统，其外部描述的数学方程就是一个 n 阶微分方程及对应的传递函数。
线性系统理论
因果性
若系统在时刻的输出仅取决于t时刻及在t之前的输入， 而与之后的输入无关，则称系统具有因果性。本书所研究 的实际物理系统都具有因果性，并称为因果系统。若系统 在t时刻的输入尚与t之后的输入有关，则称该系统不具有 因果性，不具因果性的系统能够在预测之后的输入并施加 于系统而影响其输出。