E
e(n)
2
E
s
sˆ
2
最小
3、本章讨论的主要内容
主要内容：维纳滤波器（FIR维纳滤波器和 IIR维纳滤波器）、维纳预测器、卡尔曼滤 波。
分析思路：在均方误差最小的前提下，求得
系统的单位脉冲响应h(n)或传递函数H(z)，
进而计算滤波器的最小均方误差 E[| e(n) |2 ]min
min
s
e s sˆ
w1x1 0
w2x2
x1
sˆ
x2
正交性原理的重要意义：提供了一个数学方法，用以判 断线性滤波系统是否工作于最佳状态。
2、 维纳—霍夫方程
E[x*(n k)eopt (n)] 0, k 0,1, 2,...
E
x(n
k)
d (n)
hopt,i x(n
i)
*
0
i0
将输入信号分配进去， 得到
（2.2.22）式可以写成矩阵形式， 即
对上式求逆，得到
Rxd Rxxh
h hopt Rxx1Rxd
➢ 这里涉及到计算相关矩阵和逆矩阵，计算量可能较大。
FIR维纳滤波器的估计误差的均方值
假定所研究的信号都是零均值的，滤波器为FIR型，长度
等于M，
E[|
e(n)
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
2.1 引言 2.2 离散维纳滤波器的时域解 2.3 离散维纳滤波器的z域解 2.4 维纳预测 2.5 卡尔曼(Kalman)滤波
2.1 引 言
最优滤波 维纳滤波和卡尔曼滤波简介 本章讨论的主要内容
1、最优滤波
信号处理的目的是从噪声中提取信号，得到不受 干扰影响的真正信号。采用的处理系统称为滤波 器。
e(n)
j
e(n) bk
e* (n)
j
e* (n) bk
e(n)
又
e(n) s(n) y(n) s(n) hk x(n k) k 0
s(n) a(k) jb(k) x(n k) k 0
e(n) x(n k) ak e(n) jx(n k) bk e*(n) x*(n k) ak e*(n) jx*(n k) bk
最优准则： ➢最大输出信噪比准则－>匹配滤波器 ➢最小均方误差准则 E[| e(n) |2 ]min ➢误差绝对值的期望值最小 E[| e(n) |]min ➢误差绝对值的三次或高次幂的期望值最小 E[| e(n) |k ]min
Wiener滤波器的一般结构
x(n)=s(n)+v(n)
y(n) sˆ(n) h(m)x(n m)
将上述4式代入得
k J n k E[| e(n) |2] 2E[x*(n k)e(n)]
正交性原理：
k J n 0 E[x*(n k)eopt (n)] 0, k 0,1, 2,...
➢ 分析：上式说明，若使滤波器的均方误差达到最小，则误差 信号与输入信号正交，这就是通常所说的正交性原理。
J n J n 0
hk
E[| e(n) |2 ] j E[| e(n) |2] 0 k=0, 1, 2, …
ak
bk
记梯度算子为
k
ak
j
bk
k=0, 1, 2, …
Eene* n Eene* n
k J n
ak
j
bk
上式展开为
k E[|
e(n)
|2 ]
E
e(n)
ak
e* (n)
e* (n) ak
M 1
rxd (k) h(i)rxx (k i) i0
k=0, 1, 2, …,M-1
(2.2.21)
把k的取值代入(2.2.21)式， 得到
当k=0时，h0rxx(0)+h1rxx(-1)+…+hM-1rxx(-M+1)=rxd (0) 当k=1时，h0rxx(1)+ h1rxx(0)+…+ hM-1rxx(-M+2)= rxd (1) 当k=M-1时，h0rxx(M-1)+ h1rxx (M-2)+…+hM-1rxx(0)= rxd (M-1)
(2.2.22)
…
定义
h0
h
h1 M
hM 1
rxd (0)
Rxd
rxd (1) M
rxd (M 1)
rxx
(0)Leabharlann Rxxrxx (1)
M
rxx (M 1)
rxx (1) L
rxx (M
1)
rxx (0) L rxx (M 2)
M
M
rxx (M 2) rxx (0)
E
e(n)
2
hopt
(n)
E
e(n)
2
min
2.2 离散维纳滤波器的时域解
正交性原理 维纳—霍夫方程 FIR维纳滤波器的时域解
1、 维纳滤波器时域求解的方法
因果维纳滤波器的输出y(n) ：
y(n) sˆ(n) x(n) h(n) hk x(n k) n=0,1, 2, … k 0
滤波器的分类： ➢ 线性滤波器、非线性滤波器； ➢ FIR滤波器、IIR滤波器； ➢ 时域滤波器、频域滤波器；
s(n)
x(n)
y(n)
h(n)
v(n) 图 2.1.1 信号处理的一般模型
x(n)=s(n)+v(n)
y(n) sˆ(n) x(n) h(n) h(m)x(n m)
m
e(n) s(n) y(n) s(n) sˆ(n)
设期望信号为d(n)，误差信号e(n)及其均方值E［|e(n)|2］分别为
e(n)=d(n)-y(n)=s(n)-y(n)
代价函数为 J (n) E[| e(n) |2 ] E[e(n)e*(n)]
h(k) ak jbk , k 0,1, 2,...
要使均方误差为最小，须满足
min J (n) hk
rdx (k)
h* opt ,i
rxx (i k)
i0
k=0, 1, 2, …
➢ 维纳-霍夫（Wiener－Hopf）方程：
rxd (k ) hopt,irxx (k i) i0
k=0, 1, 2, …
3、FIR维纳滤波器的时域解
FIR维纳滤波器的维纳-霍夫方程
当h(n)是一个长度为M的因果序列时，FIR维纳滤波器的维 纳-霍夫方程表述为
m
e(n) s(n) y(n) E[| e(n) |2 ]min
2、维纳滤波和卡尔曼滤波简介
维纳(Wiener)滤波与卡尔曼(Kalman)滤波以估计的 结果与信号真值之间的误差的均方值最小作为最 优准则。
假设信号的真值与估计值间的误差为：
e(n) s(n) sˆ(n)
均方误差最小即误差的平方的统计平均值最小：