n L2 n Ln / cos 2n
Ln n si n

ˆ (4L L ) / 3 L 2n 2n n
n L error 192 3.1414524 1.4e-004 384 3.1415576 3.5e-005 3.1415926 4.6e-010
通信卫星信号覆盖率
设地球为球体, R为地球半径,H为 卫星高度,覆盖面为球冠面积
(4)尽量减少计算工作量(乘、除法次数)
例 计算 P(x) = 1+2x+3x2+4x3 + 5x4 的值 秦九韶算法 P(x)=1+x(2+x(3+x(4+5x)))
应用: 2进制数转换为10进制数算法
(1 1 1 0 1 1 1 0)2 = 27+26 +25 +0 +23 +22 +2 +0 =((((((1· 2+1)2+1)2+0)2+1)2+1)2+1)2+0 =238
x
dx n x n1e x dx) 1 nI n1
0
19/25
e (x e
1
x 1 0
1
递推公式: In = 1 – nIn-1 (I0 = 1- e-1)
–1 ≈0.63212055882856 I = 1 – e 初值： 0
S0=1-exp(-1);S(1)=1-S0; for n=2:20 |e(S0)|=|S0 –I0|<0.5· 10-14 S(n)=1-n*S(n-1) end error
n=20时，S20= -30.19239488558378 实际计算: Sn=1-nSn-1,S0=0.63212055882856
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In=1 - nIn-1
Sn- In=- n(Sn-1 - In-1)
e(Sn)= –ne(Sn-1)=· · · · · · = (n!)(–1)ne(S0)
(2)避免两相近数相减;
(3)防止大数“吃”小数现象 a = 109，b = 9，在8位浮点数系统中做加法 a + b =1.0000000 ×109+ 0.000000009 ×109 由于只保留8位有效数，处于第九、十位的数09 被舍去,实际操作是: 将 a 的数据作为加法计算的最终结果.
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0
1
2
3
4
5
6
7
有效数字概念:
取 的有限位数如下( ≈3.1415926)
取 x1 = 3，误差限不超过0.5; 取 x2 = 3.14,误差限不超过0.005 ; 取 x3 = 3.1416,误差限不超过0.00005 ;
若近似值 x 的绝对误差限是某一位上的半个 单位，该位到 x 的第一位非零数字一共有 n 位，则称近似值 x 有 n 位有效数字.
2.多元函数 z = f(x1,x2,· · · ,xn)误差分析
f ( z) | | ( xk ) k 1 xk
n
数据误差对算术运算影响
(1)
(2) (3)
( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 )
| x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 ) ( x1 / x2 ) 2 x2
解: a1=5,利用不等式 取n≥3,有
5 n n | er ( x ) | 10 10 a1
|er(x)|≤10-3
所以,浮点数的有效数字位数至少应取3位。
例2.圆面积计算的误差估计
圆面积计算公式: S R 2 全微分近似: S 2RR
( S ) 2R ( R)
P2 ( x) 1 x x x
2
31
(8次乘法)
四、如果已知球半径R和球冠高h，则有球冠 侧面积计算公式 S 2Rh
设通信卫星高度为H，利用相似三角形比
H 导出信号覆盖面积公式 S 2R R H
2
25/25
x 0.a1a2 an 10
尾数部
m
阶码部
二进制浮点数表示(IEEE754双精度)
x 1.b1b2 bn1 2
尾数部
m
阶码部
其中 , 正负号占 2 个位 , 尾数占 52 个位 , 阶码占 10个位.对应十进制数字长15,阶码308 二进制数1.b1b2×2m ( – 4≤ m ≤3 )分布实验
题有待研究，这些问题涉及现有的多门数学分支。
1958年, 前苏联载人飞船
1969年, 美国Apollo 登月
1994年, 美国GPS运行
中国北斗系统
求未知数据的迭代计算技术: 初始猜测数据、迭代计算格式、 迭代序列的收敛性分析、计算 复杂性分析，…… 评价算法的主要指标: 速度和精度
引例: 圆内接正多边形边长计算Pi方法(P.42&177)
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参考文献
[1]李庆扬 关治 白峰杉, 数值计算原理(清华) [2] Numerical Mathematic，springer出版社,2007 [3]蔡大用, 现代科学计算 [4]孙志忠,计算方法典型例题分析
练习与思考
一、通过网络查找相关资料： 1.关于圆周率的计算方法; 2. IEEE754浮点数标准. 二、回顾微积分内容 1. 球冠面积和体积计算公式及变形; 2. 一元函数及多元函数台劳展式.
H S 2R R H
2
数学模型 数值方法 数值模拟结果
三颗卫星信号覆盖
北极信号盲区模拟图
误差分类：
模型误差: 建立数学模型时所引起的误差；
观测误差:测量工具的限制或在数据的获取时随 机因素所引起的物理量的误差；
截断误差:求解数学模型时，用简单代替复杂, 或者用有限过程代替无限过程所引起的误差 舍入误差:计算机表示的数的位数有限，通常用 四舍五入的办法取近似值，由此引起的误差.
计算出的x1 具有两位有效数
1 0.062747 修改算法 x1 8 63 15.937 4位有效数 (15.937) 0.0005 ( x1 ) 0.000005 2 2 (15.937) (15.937) 1
数值计算中的基本原则
(1)避免绝对值小的数做除数;
r ( S ) 2 r ( R)
r ( S ) ≈2×1%=2%
取 r = 50 cm, 则有 ( R) 0.5 cm
( S ) ≈150 cm2,
反问题:利用 ( S ) 估计
( R), r ( R)
| e( y) || y * y || x * x || f ( x) || f ( x) | ( x)
《数值分析》Ch1
数值计算与误差 浮点数与有效数字 数值计算中的基本原则 算法的数值稳定概念
数值分析——研究以计算 机为工具求解数学问题的数 值方法及其理论.
von Neumann and Goldstine： 冯· 诺依曼 图灵 “高阶矩阵的数值求逆” (1947 年) 数值计算广泛应用，计算问题规模扩大，一系列新问
1.一元函数 y=f(x)误差分析( 准确值 y*=f(x*) ) 由Taylor 公式 2 ( x * x) f ( x*) f ( x ) ( x * x ) f ( x ) f ( ) 2
所以
( y) | f ( x) | ( x) xf ( x ) | r ( x) 同理: r ( y ) | f ( x) 反问题:估计 r ( x )

e( x) x x er ( x ) r x x
称ε r为相对误差限。
十进制浮点数表示
一台微机价格:￥3999.00, 浮点数表示:0.3999×104 地球半径: 6378137m, (6.378137e+006) 浮点数表示: 0.6378137×107
光速: 2.99792458e+008 浮点数表示: 0.299792458×109
( x1 x2 ) | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 )
例3.二次方程 x2 – 16 x + 1 = 0, 取
求 x1 8 63 使具有4位有效数
63 7.937
解:直接计算 x1≈8 – 7.937 = 0.063
( x1 ) (8) (7.937) 0.0005
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例4 计算 I n e
1

n
1
0
x e dx
x 1 0
n x( n =0,1,· ·Fra bibliotek· , 20 )
n

1
0
x dx x e dx e x dx
n
1
e 1 1 In n1 n1
1 0 1
0
I0 e
1
In e
1
xe
n 0 n
e x dx e 1 (e 1) 1 e 1
一个有n 位有效数字的数
x 0.a1a2 an 10
绝对误差限满足：

m
1 mn e ( x ) x x 10 2
相对误差限满足：
5 n er ( x ) 10 a1
例1 已知 30 的十进制浮点数第一位是5， 要使近似值的相对误差限小于 0.1% ， 问浮 点数的有效数字的位数至少应该为多少？
误差的有关概念
假设某一数据的准确值为 x*,其近似值 为 x，则称
e(x)= x - x*
为 x 的绝对误差 而称
e( x) x x er ( x ) , x x
*
( x 0)