1 （0195）《实变函数》复习大纲
第一章 集合论
一、 基本内容：
集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集
二、 基本结论
1、 集合的运算规律
2、 可数集的性质
（1） 任何无限集必含有可数子集
（2） 可数集的子集至多是可数的。即或为有限集或为可数集。
（3） 可数个可数集的并集是可数集。
（4） 若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集
A=nxxxa,,,21,nkxxxkkk.,2,1;,,21
则A为可数集。
3、 常见的可数集：有理数及其无限子集。
三、基本要求：
1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。
2、 掌握集之间的并、交、差、余运算。
3、 掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。
4、 理解集列的收敛、单调集列的概念。
5、 掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。
6、 理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。
7、 理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。
四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某个集合是可数集合。
五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数 2 集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数集合，而无理数集是不可数集合。我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的，这是无穷集合的本质特征。
第二章 点 集
一、 基本内容：
度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以及直线上开集和闭集的构造定理。
二、 基本结论
1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。
2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。
3、开集、闭集具有对偶性。
4、Cantor 集合的构造及性质：Cantor 集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。
三、基本要求：
1、明确n维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极限理论中的作用。
2、理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。
3、理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。
4、理解直线上开集、闭集、完备集的构造。
5、理解康托集的构造、特性。
四、重点： 1、能够正确计算点集的边界、聚点和闭包
2、能够正确应用Cantor 集合的构造及性质举例。
五、学习主要事项：本章介绍的点集是带有某种距离结构的集合，通过内点和聚点可以定义其它的所有概念；集合的开、闭性是集合的整体性质，利用它可以定义函数的连续性；本章最后的例子介绍康托集，它的构造方法十分有用，利用这种方法。我们可以构造类似的不同性质的例子，例如，测度为任意正数的疏朗集。
第三章 测度论
一、基本内容：外测度及其性质；Lebesgue可测集及其性质。
二、基本结论
1、 可测集的性质（ 基本性质、运算性质）。 3 2、 可测集的构造。
3、 不可测集是存在的。
4、 常见可测集。区间、开集、闭集，零测集及其子集以及由这些集合的可数并、交、差等运算而得的集合。
三、基本要求：
1、理解测度的意义。
2、理解外测度的意义，掌握其有关性质。
3、理解可测集的定义，掌握可测集的性质。
4、了解并掌握不可测集的存在性这一结论。
四、重点：1、用概念求一、二维空间点集的测度
2、用可测集合的有关性质证明相关的结论。
五、学习主要事项：本章介绍的测度是直线上线段的“长度”，平面图形的“面积”，空间立体的“体积”在欧氏空间的推广。我们需要注意，对具体的集合而言，有时与我们的“直观”有差异。例如，全体有理数集合的测度为零，但是它是无界集合；
1,0的全体无理点所成的集合的测度为1，但是它却不含任何区间 ；康托集是不可数集合，但是它的测度为零。
第四章 可测函数
一、基本内容
可测函数的概念、性质及其构造， 可测函数的各种收敛性及其关系。
二、基本结论
1、可测函数经过四则运算后仍是可测函数。
2、几乎处处相等的函数有相同的可测性。
3、可测函数列的极限函数仍是可测函数。
4、各种收敛性的关系。
4
三、基本要求：
1、掌握可测函数的定义及等价定义。
2、掌握可测函数的有关性质。
3、理解简单函数的定义，掌握可测函数与简单函数的关系。
4、掌握叶果洛夫定理，鲁津定理以及它们的逆定理的证明。
5、掌握依测度收敛的意义，掌握依测度收敛与几乎处处收敛的联系与区别。
四、重点：1、可测函数的概念。
2、叶果洛夫定理逆 定理及鲁津定理逆 定理的证明 。
3、按定义证明依测度收敛。
4、用可测函数各种收敛性的关系证明相关的结论。
五、学习主要事项：本章介绍的可测函数必须是定义在可测上，我们以前熟悉的连续函数（定义在可测集上）是可测的，可测函数列的“几乎处处收敛”、“近一致收敛”、“依测度收敛”既有区别又有联系，学习时必须认真理请它们的关系。（参见前面的图示）
第五章 积分论
一、 基本内容：黎曼积分可积性的证明， L-积分的定义及其性质，积分的极限定理，有界变差函数，不定积分与绝对连续函数。 ..eaffn
无条件 mE
在黎斯定理条件下的子列在叶果洛夫条件下 在黎斯定理条件下 在叶果洛夫定理条件下
ffn..uaffn
5 二、 基本结论
1、 在测度有限情形下，有界可测函数是可以积分的。
2、 可积函数的性质。
3、 积分收敛定理。
4、 R-积分与L-积分的关系。
三、基本要求
1、了解黎曼可积的充要条件是被积函数几乎处处连续（不要求掌握证明）。
2、理解勒贝格积分的定义及其建立过程。
3、掌握R积分与L积分的关系。
4、掌握L积分的性质，特别是掌握L积分的绝对可积性和绝对连续性。
5、掌握勒贝格控制收敛定理、列维定理、逐项积分定理、积分的可数可加性定理，法都引理。
四、 重点：1、计算函数的积分值。
2、利用控制收敛定理及逐项积分定理求积分列的极限。
五、学习主要事项：L-积分是黎曼正常积分的推广。本章从具体到一般逐步给出积分概念，首先对定义在测度有限的可测集上的有界可测函数定义积分，然后对非负函数定义积分值，最后对一般可测函数定义积分值，从而定义其可积性。值得注意的是，不可积函数有时可以计算积分值（这时积分值为无穷大）。在L-积分下，积分与极限交换顺序的条件是比较容易满足的。
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（0195）《实变函数》样题及解答
一、 判断下列命题是否正确（每小题1分，共10分）。
1．无界勒贝格可测集合的勒贝格的测度必为。
2．可数点集一定为零测集。
3．设E为1R的可测子集，0mE，E一定含有一个区间 。
4．开集1G是开集2G的真子集，则21mGmG。
5．设xgxf,均是可测集合E 上的可测函数，且对任何xgxfEx,，若xg为L-可积，则xf也L-可积。
6． 开集减去闭集是开集。
7． 设xfn是可测集E上的可测函数列， xfxfnninf，则xf是可测函数。
8． 有界可测集上的勒贝格可积函数一定是几乎处处有限的可测函数。
9．设f(x)是L可积函数，g(x)是L不可积函数，则f(x)+g(x)是L不可积函数 。
10．设qRE，p是E的内点，则p一定是E的聚点 。
答案： 1、错误 2、正确 3、错误 4、错误 5、错误
6、正确 7、正确 8、正确 9、正确 10、正确
二、填空题（每小题2分，共10分）。
3．设E是平面上矩形{(x，y)|0≤x≤2|，0≤y≤2}中坐标都是有理数的点组成的集合，则mE=__________
4． 设1,0,1,0,xfPPxePxxxfx是康托集，则其中
________
6．4、设nRE,xf是E上的实值函数，是实数，则11nnfE= 。
7．可数点集的L外测度是 。
8．设xf是可测集nRE上的有界函数，mE，则xf在E上L可积的
条件是xf在E上可测。
9．设可数集合A的基数是a，B是有限集，则BA的基数是 。 7 10．设xf是定义在ba,上的黎曼可积函数，E是xf的不连续点集，则mE 。
答案：1、20， 2、10， 3、 0 4、1e 5、几乎处处
6、fE 7、 0 8、充要 9、a 10、 0
三、(10 分)证明：整系数多项式全体所成之集是可数集。
证明： 设A 为整系数多项式全体所成之集，记
niaxaxaxaaPinnn,,3,2,1|2210是整数，
nAniaaaaain,,3,2,1|,,,,210是整数，，
由于整数是可数集合，从而nA可数
令: nnnaaaaxaxaxaa,,,,2102210
易知， 是nP到nA的一一对应。故nP可数。
因此1nnPA也可数。
四、(10 分)设,3,2,1,nxfxgnn是可测集E上的可测函数列，xg，xf 是定义在可测集E上的可测函数，若ffn，ggn 。证明 gfgfnn
证明： 对任何正数0
2||2||||ggEffEgfgfEnnnn
2||2||||ggmEffmEgfgfmEnnnn
由于右边各项收敛于零，故ngfgfmEnn0||。
五、（10分）设,mE,3,2,1nxfn是E上的一列可测函数，证明
ndxxfxfEnn0||1||的充要条件是0nf
证明： 充分性 由0nf及定义知0||1||nnff，且1||1||nnff，由控制收敛定理得结论。