教学内容
第四节 一阶线性微分方程
我们已经学习了变量可分离方程，和齐次型方程的解法。一阶线性微分方程是一类非常重要的微分方程，它具有完整的理论基础和丰富的实际背景.本节课我们将主要来学习一阶线性微分方程的定义，以及它的求解方法.
一、定义
一阶线性微分方程的形式是
（1）
称为“自由项”.如果 , 即
（2）
称为一阶线性齐次方程.如果 不恒为零, 则称(1)为一阶线性非齐次方程.
注：线性是指关于未知函数y和它的导数是线性的.
二、一阶线性微分方程的通解
先考虑线性齐次方程(2), 注意这里“齐次”的含意与1.3节中的不同, 这里指的是在(1)中不含“自由项” , 即 .显然, (2)是一个变量可分离方程, 由1.2节易知它的通解是
（3）
问题：如何求解一阶线性非齐次微分方程呢？
观察方程(1)、(2)发现，这两个方程是既有联系又有区别.两式左端是一样的，而右端是不一样的.因此猜想这两个方程的解也应该有一定的联系和区别.并且，还想利用齐次方程(2)的通解(3)去求非齐次方程(1)的通解.
教学目标
（1）了解一阶线性微分方程形式
（2）熟练掌握求一阶非齐次线性微分方程解的常数变易法
教学重点和难点
常数变易法
思路设计
提问
一阶线性微分方程的定义
一阶线性非齐次微分方程解法
举例
小结
方法手段
教学方法： 启发式教学法
教学手段：多媒体辅助教学
所用教材
《微分方程》东北师范大学微分方程教研室，第二版，高等教育出版社
显然，齐次方程(2)的通解不是非齐次方程(1)的通解.因为，如果将(3)式直接代入(1)式，则会有f(x)等于0.要使(1)式恒等，(1)式左边必须要多出一项x的函数与右边的f(x)相对应.
根据函数乘积的求导公式和(3)式的特点，如果把(3)式变换成：两个函数的乘积，则有可能多出一项.而(3)式是由常数C和指数函数两部分构成，要使(3)式变换成两个函数的乘积，最简单的变换就是把C变换成函数C(x).
一阶线性微分方程教学设计
课程名称
常微分方程
授课内容
第一章第四节
授课时间
约8分钟
授课题目
一阶线性微分方程
所属学科
数学
课程类型
数学专业课
适用对象
继续教育学生
使用教具
投影仪
教学背景
一阶线性微分方程是一类非常重要的微分方程，它具有完整的理论基础和丰富的实际背景。对于一阶线性常微分方程的学习，关键要掌握它的求解方法：常数变易法，它是一种非常有效且重要的求解方法。
猜想非齐次方程(1)有形如
（4）
通解, 其中C(x)是待定函数.将(4)代入(1), 有
即
积分后得
把上式代入(4), 得到(1)的通解公式为
.
仔细观察非齐次方程(1)的通解公式, 我们可以发现它由两项组成.第一项是对应齐次方程的通解, 第二项是非齐次方程的一个特解.
结论：一阶线性非齐次方程(1)的通解, 等于它所对应的齐次方程(2)的通解与非齐次方程(1)的一个特解之和.
例1求解方程
.
解显然, 这是一个一阶线性非齐次方程.利用常数变易法，先求对应齐次方程
的通解为
.
由常数变易法, 令 为原方程的解，代入原方程有
,
即 为
.
注：在求解具体方程时, 不必记忆通解公式, 只要按常数变易法的步骤来求解即可.
三、小结
1.一阶线性微分方程的定义.
2.常数变易法