第3讲 圆的方程1．已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝ 2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4 解析：选A.AB 的中点坐标为(0，0)，|AB |＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22，所以圆的方程为x 2＋y 2＝2.2．(2016·合肥质检)过坐标原点O 作单位圆x 2＋y 2＝1的两条互相垂直的半径OA ，OB ，若在该圆上存在一点C ，使得OC →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R )，则以下说法正确的是( ) A ．点P (a ，b )一定在单位圆内 B ．点P (a ，b )一定在单位圆上 C ．点P (a ，b )一定在单位圆外D ．当且仅当ab ＝0时，点P (a ，b )在单位圆上解析：选B.因为OC →2＝(aOA →＋bOB →)2，且OA →⊥OB →，所以a 2＋b 2＋2abOA → ·OB →＝a 2＋b 2＝1，因此点P (a ，b )一定在单位圆上，故选B.3．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1解析：选A.由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a ，1)，a ＞0，又圆与直线4x－3y ＝0相切，可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.4．(2016·辽宁省五校联考)直线x －2y －2k ＝0与直线2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9的外部，则k 的取值范围为( )A ．k ＜－35或k ＞35B ．－35＜k ＜35C ．－34＜k ＜34D ．k ＜－34或k ＞34解析：选A.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2k ＝0，2x －3y －k ＝0得交点坐标为(－4k ，－3k )．由题意知(－4k )2＋(－3k )2＞9，解得k ＞35或k ＜－35，故选A.5．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1，0)且被x 轴分成两段弧长的比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝13解析：选C.由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝43.6．(2016·洛阳统考)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a ≥0，b ≥0)始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y＋1＝0的周长，则a 2＋b 2－2a －2b ＋3的最小值为( ) A.45 B.95C ．2 D.94解析：选B.因为直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，所以圆心(－2，－1)在直线ax ＋by ＋1＝0上，从而2a ＋b －1＝0.a 2＋b 2－2a －2b ＋3＝(a －1)2＋(b －1)2＋1，而(a －1)2＋(b －1)2表示点(1，1)与直线2a ＋b －1＝0上任一点距离的平方，其最小值d 2min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2×1＋1×1－1|22＋122＝45，所以a 2＋b 2－2a －2b ＋3的最小值为45＋1＝95，故选B. 7．(2014·高考陕西卷)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．解析：圆C 的圆心为(0，1)，半径为1，标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝18．(2016·太原模拟)已知点P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，点C 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心，那么|PC |的最小值是________． 解析：点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点P 的最小距离即为点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，而圆心C 的坐标是(1，1)，因此最小距离为|3×1＋4×1＋8|5＝3.答案：39．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．解析：因为圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， 所以其圆心为(－1，2)，且5－a >0， 即a <5.又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，所以2＝－2＋b ，所以b ＝4.所以a －b ＝a －4<1. 答案：(－∞，1)10．已知圆C 过点(1，0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 截得的弦长为22，则圆的方程为________．解析：由题意设圆心为(m ，0)(m ＞0)，则圆的半径r ＝|1－m |，圆心到直线l ：y ＝x －1的距离d ＝|m －1|2，又直线l ：y ＝x －1被圆C 截得的弦长为22，所以2|1－m |2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|m －1|22＝22，整理得|1－m |＝2，解得m ＝3(m ＝－1不符合题意，舍去)，则r ＝2，故圆的方程为(x －3)2＋y 2＝4.答案：(x －3)2＋y 2＝411．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1，12)，B (7，10)，C (－9，2)．解：(1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2.所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝（1－3）2＋（－4＋2）2＝22，所以所求圆的方程为(x －1)2＋ (y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.12．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1，2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上， 得a ＋b －3＝0.①又因为直径|CD |＝410，所以|PA |＝210，所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.1．已知两点A (0，－3)、B (4，0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( )A ．6 B.112C ．8 D.212解析：选B.如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，这时△ABP 的面积最小．直线AB的方程为x 4＋y －3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋（－4）2＝165，所以△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫165－1＝112.2．设命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥0，k －x ≥0，x ＋3y ≤12(x ，y ，k ∈R 且k ＞0)；命题q ：(x －3)2＋y 2≤25(x ，y ∈R )．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是________．解析：如图所示：命题p 表示的范围是图中△ABC 的内部(含边界)，命题q 表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p 是q 的充分不必要条件，实际上只需A ，B ，C 三点都在圆内(或圆上)即可．由题知B ⎝⎛⎭⎪⎫k ，4－43k ， 则⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，（k －3）2＋169（3－k ）2≤25， 解得0＜k ≤6. 答案：(0，6]3．在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0.(1)求AB →的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程．解：(1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8.若AB →＝(－6，－8)， 则y B ＝－11与y B >0矛盾．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8舍去，即AB →＝(6，8)．(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2， 其圆心C (3，－1)，半径r ＝10，因为OB →＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6，8)＝(10，5)，所以直线OB 的方程为y ＝12x .设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设圆C 的圆心为C (a ，b )，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8. 因为直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ， 所以O 点在圆C 上， 且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝8，b a＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2. 由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧（x －4）2＋y 2＝16，（x ＋2）2＋（y －2）2＝8， 解之得x ＝45或x ＝0(舍去)．所以存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长．。