FTC = FTD = FT1 + FT 2 = 7kN
M eC = M eD
=
(FT1
−
FT 2
)
D 2
=
750N ⋅ m
弯扭组合变形
(2) 作内力图 确定B截面为危险截面
(3) 强度计算
σ r4
=
1 Wz
M 2 + 0.75T 2 ≤ [σ ]
⇒ πd 3 ≥ 32
M 2 + 0.75T 2
[σ ]
FTC = FTD = FT1 + FT 2 = 7kN
M eC = M eD
=
(FT1
−
) FT 2
D 2
=
750N ⋅ m
扭转与弯曲组合变形
(2) M eC , M eD 作用下的扭矩图 (3) FTC 作用下的弯矩图
(4) FTD 作用下的弯矩图
(5) 总弯矩图
M=
M
2 z
+
M
2 y
第10章 组合变形
σ A = −σ N −σ M y − σ M z = −2.625MPa σ B = −σ N + σ M y − σ M z = −1.375MPa σ E = −σ N + σ M y + σ M z = 1.625MPa σ D = −σ N − σ M y + σ M z = 0.375MPa
σ max min
=
−
FN max A
±
M max Wz
例1.挡土墙
x截面任意点应力：
σ = − N(x) ± M (x) y
A
Iz
挡土墙底部截面轴力和弯矩最大，
为危险截面，其最大和最小应力为：
σ max min
=
−
N max A
±
M max Wz
强度条件：
σ
± max
=
−
N max A
±
M max Wz
之，这类构件的变形称为组合变形。
P
P
z
R
x
M
y
P
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理 叠加条件：小变形、线弹性范围
①外力分析：外力向形心简化，并沿主惯性轴分解 ②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确
定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强 度条件。
例2-15 图示烟囱 ρg = 18 kN m3 , q = 1kN m
≤ [σ t ] [σ c ]
X
(d) q(x)
(e)
M(x) (f) N(x)
(C)
(d)
σ N
(e)
σ M
(f)
σ
=σ
+σ
N
M
二、偏心拉伸(压缩)
单向偏心拉压
1、单向偏心拉伸(压缩)
双向偏心拉压
偏心荷载作用在横截面 的某一对称轴上
偏心拉压属于轴向拉压 与弯曲的组合变形
内力：N=P, M=Pe
作自重单独作用时的轴力图
(3) 风载单独作用时的剪力方程和弯矩方程
FS (x) = qx,
M (x) = qx2 2
作风载单独作用时的剪力图和弯矩图
例2-16 图示圆截面传动轴AD，D = 500mm, FT1 = 5kN, FT 2 = 2kN, 试画出轴AD的内力图。
解：
(1) 受力分析
作计算简图
应力： σ＝σ N
+σM
=
−
N A
±
M⋅y Iz
强度条件：σ max
min
=
−
P A
±
Pe Wz
≤
[σ
± ];
e
ze
p
b
O
+
-
y
h
h
例2 图示不等截面与等截面杆，受力P=350kN，试分别求出两柱
内的绝对值最大正应力。 例10－3 解：两柱均为压应力
P
P
200 200 300
200 200
图（1）
第10章 组合变形
§2–4 组合变形的内力和内力图 §2–5 静定平面刚架的内力 内力图 §10–1 拉(压)和弯曲组合变形 §10–2 斜弯曲 §10–3 弯扭组合变形
§10–3 弯扭组合变形 曲柄ABC
研究AB杆 (1)受力分析，作计算简图
作内力图
确定危险截面：A截面
(2)应力分析
危险点：a点、b点
第10章 组合变形
§2–4 组合变形的内力和内力图 §2–5 静定平面刚架的内力 内力图 §10–1 拉(压)和弯曲组合变形 §10–2 斜弯曲 §10–3 弯扭组合变形
§2–4 组合变形杆件的内力
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简 单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略
③应力分析：建立强度条件。
σ r3 =
M
2 y
+
M
2 z
+
T
2
≤ [σ ]
W
σr4 =
M
2 y
+
M
2 z
+
0.75T
2
≤ [σ ]
W
例10-6 图示圆截面传动轴AD，D = 500mm, FT1 = 5kN,
FT 2 = 2kN, [σ ] = 160MPa
试按照第四强度理论设计该轴的直径。
解： (1) 受力分析 作计算简图
σ A = −σ N −σ My −σMz = −2.625MPa σ B = −σ N +σMy −σ Mz = −1.375MPa σ E = −σ N +σMy +σ Mz =1.625MPa σ D = −σ N −σ My +σMz = 0.375MPa
(2)作截面正应力分布图 确定中性轴位置 BG = σ B = 1.375 , BE = 80 ⇒ BG = 36.7mm GE σ E 1.625 AH = σ A = 2.625 , AD = 80 ⇒ AH = 70mm HD σ D 0.375
MMzy ((NNmm))
MT n (（NNmm）)
Mn
MM ((NNmm)) MMmmaaxx
②每个外力分量对应 xX 的内力方程和内力图
Xx M y ( x) ; M z ( x) ; T ( x) ③叠加弯矩，并画图
xx
M (x)=
M
2 y
(
x)+M
2 z
(
x)
④确定危险面
xX
My
M
B1 T
σ r3 = σ 1 − σ 3 = σ 2 + 4τ 2=
M
2 max
W2
+
4
T2 WP2=
σ r3 =
M
2 y
+
M
2 z
+
T
2
≤ [σ ]
W
M
2 y
+
M
2 z
+T
2
W
[ ] σr4 =
1 2
(σ1
−σ 2 )2
+ (σ 2
−σ 3 )2
+ (σ3
−σ1 )2
= σ2+3τ2
=
M 2 + 0.75T 2 =
危险截面为截面C
σN
=
FN A
σM
=
M max Wz
[ ] σ max = FN ± M max [ ] σ min A Wz
≤ σt σc
例10-1 起重机的最大吊重 F = 12kN ，横梁为No.16工字钢，
[σ ] = 100MPa 试校核梁AB的强度。
解：(1)受力分析
FAx = 24kN FAy = 6kN FCx = 24kN FCy = 18kN
⇒ d ≥ 52mm
例5.
P1
80º P2 y
x
A 150
B 200 C 100 D
z
P1
80º P2 y
建立图示杆件的强度条件
A 150 P1
A 150
B 200
Mx B 200
解：①外力向形心
x
简化并分解
C 100 D z
y
P2y
Mx
x
P2z
CD
100
z
弯扭组合变形
MZ
My
((NN mm))
x B2Mz
σ xB1
⑤画危险面应力分布图，找危险点
σ xB1
τ B1
σ
xB1
=
M max W
τ B1
=
T WP
M
x
σ σ
1 3
=σ 2
±
(σ )2+τ 2 2
σ xB2 ⑥建立强度条件
τ B1
σ xB1
τ B1
σ r3 = σ 1 − σ 3 = σ 2 + 4τ 2
=
M2 max
W2
+
4
T2 WP2
σa
=
M max Wz
τa
=
Tmax WP
(3) 强度校核
按第三或第四强度理论 建立强度条件
[ ] σ r3 =
σ
2 a
+
4τ
2 a
≤
σ
[ ] σ r4 =
σ
2 a
+
3τ
2 a
≤
σ
圆形截面有 WP = 2Wz