a14 分块矩阵不仅 a24 = a1 , a 形式上进行转 2 ,a3 ,a4 置， a34
a11 a12 T A = a13 a 首页 14
a21 a22 a23
24 上页
a
a31 a1T T a32 a 2 = a33 a 3T T a34 返回 a4
3 1 -1 1 -1 A2 = , A2 = 2 1 2 3
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例4
解
- 2 1 A= 0 0
-1 11
- 2 1 求A = 0 0
3 -2 0 0
0 0 1 2
3 -2 0 0
C11 C 21 C = AB = C s1
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C1 r t C 2 r C ij = Aik Bkj , k =1 ( i = 1, , s; j = 1, C sr
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, r)
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按行分块以及按列分块
mn 矩阵 A 有m 行 n 列，若将第 i 行记作
0 0 1 2
-1 22
0 A 0 = 11 o 2 5
0 0 -1 的逆矩阵 A 2 5
o A22
- 2 - 3 A = -1 - 2
-1 A 11 A-1 = o
5 - 2 A = - 2 1
m1 A11 m2 A21 A= m s As1 A12 A22 As 2
C12 C 22 Cs2
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A1 t l1 B11 A2 t l2 B21 , B= Ast lt Bt 1
B12 B22 Bt 2
B1 r B2 r , Btr
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5 例3:设A = 0 0 5 解： A = 0 0
0 0 3 1 ，求 A－1 ． 2 1 0 0 -1 A O A O 1 -1 1 3 1 = A = -1 O A2 O A2 2 1 1/ 5 0 0 1 = 0 1 -1 A1 = (5), A1-1 = 0 -2 3 5
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例如：
一、分块矩阵的概念
在矩阵的讨论和运算中，有时需要将一个矩阵分成若干 个“子块”(子矩阵)，使原矩阵显得结构简单而清晰。
1 0 例如：A = 0 0
0 1 0 0
0 3 0 -1 = I2 A3 ， 1 0 O I2 0 1
1 0 ，A = 0 3 ，I = 0 0 。 其中 I2= 3 2 0 1 0 -1 0 0
, n .
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于是设 A 为 ms 矩阵，B 为 s n 矩阵， 若把 A 按行分块，把 B 按列块，则
C = (cij )mn
T a1 T a2 = AB = 1 , 2 , aT m T T a1 1 a1 2 T T a a 2 1 2 2 , n = aT aT m 1 m 2
像这样将一个矩阵分成若干块 (称为子块或子阵 )，并以 所分的子块为元素的矩阵称为分块矩阵。
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问题二：为什么提出矩阵分块法？
答：对于行数和列数较高的矩阵 A，运算 时采用分块法，可以使大矩阵的运算化 成小矩阵的运算，体现了化整为零的思 想.
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二、分块矩阵的运算
前言
• 由于某些条件的限制，我们经常会遇到大 型文件无法上传的情况，如何解决这个问 题呢? • 这时我们可以借把文件分块，依次上传. • 家具的拆卸与装配 问题一：什么是矩阵分块法？ 问题二：为什么提出矩阵分块法？
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一、分块矩阵的概念
第三节 分块矩阵
在矩阵的讨论和运算中，有时需要将一个矩阵分成若干 个“子块”(子矩阵)，使原矩阵显得结构简单而清晰。 定义1在一个矩阵A的行、列之间划一些横线和纵线，将 A 从形式上分成若干个小矩阵，每个小矩阵称为A的一个子块， 以子块为元素的矩阵称为A的分块矩阵 1 0 0 3 0 1 0 -1 I3 A1 ， A= = 0 0 1 0 O A2 0 0 0 1 1 0 0 3 其中 I3= 0 1 0 ， A1= -1 ， O=(0 0 0)，A2=(1)。 0 0 1 0
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0 k 3k k 2 k 4k ； 0 -k 0 0 0 -k
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二、分块矩阵的运算
分块矩阵运算时，把子块作为元素处理。 例1．设矩阵 1 0 A= 0 0 0 1 3 1 2 4 ， B= 0 -1 0 0 0 -1 1 2 2 0 6 3 0 -2 0 0 1 0 0 0 ， 0 1
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四、分块对角矩阵
定义：设 A 是 n 阶矩阵，若 1. A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块， 2. 其余子块都为零矩阵， 3. 对角线上的子块都是方阵， 那么称 A 为分块对角矩阵． 例如：
5 0 A= 0 0
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0 1 0 0
0 0 8 5
0 A1 0 =O 3 O 2
T a1 T a2 T 于是 A A = a1 , a 2 , aT n T T a1 a1 a1 a2 T T a a a 2 1 2 a2 ,a n = a Ta a Ta n 1 n 2
, an
T a1 an T a2 an
；
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二、分块矩阵的运算
分块矩阵运算时，把子块作为元素处理。 例1．设矩阵 1 0 A= 0 0 0 1 3 1 2 4 ， B= 0 -1 0 0 0 -1 1 2 2 0 6 3 0 -2 0 0 1 0 0 0 ， 0 1
用分块矩阵计算kA，A+B及AB。
解：将矩阵A，B进行分块：A= I C ，B= D O ， O -I F I 则 AB = I C O -I 1 3 CF = 2 1
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7 -1 14 4 D O D +CF C = = F I -6 -3 -F -I 0 2 6 3 = 6 -3 0 -2 12 4
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1 3 2 4 。 -1 0 0 -1
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注意：在进行加法运算时，两个矩阵要有相同的分法。 在进行乘法运算时，左矩阵的列分法要与右矩阵的行分 法相同。
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7 B1 O3 A1B1 O 14 = = O 4 B3 O A3B3 0 0
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5 0 0 6 0 0 。 0 0 0 0 -1 -1
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分块矩阵的乘法
m1 + m2 + l1 + l2 + n1 + n2 +
+ ms = m + lt = l + nr = n
一般地，设 A为ml 矩阵，B为l n矩阵 ，把 A、B 分块如下： l1 l2 lt n1 n2 nr
用分块矩阵计算kA，A+B及AB。
2 2 I C D O I + D C 则 A+B= = = + O -I F I 6 F O 0
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形式上看成 解：将矩阵是普通矩阵 A，B进行分块：A= I C ，B= D O ， O -I F I 的加法！
2 1 3 -2
1 2 0 0
3 4 0 0
1 0 A= 0 0 用分块矩阵计算AB。
例2．设矩阵
0 1 0 0
1 0 2 0 ， B= 0 0 0 -1
1 2 6 0
2 0 3 0
0 0 0 1
0 0 ， 0 1
解：将矩阵A，B进行分块：A= A1 O1 ，B= B1 O3 ， O2 A 3 O4 B3 A1 O1 则 AB= O 2 A3
则
(1)

其中k是自然数
(2)
(3)
| A |=| A11 | | A22 | | Arr |
A可逆的充分必要条件是 对任意i (1 i r )，Aii可逆，且
-1 A11 -1 A = -1 A22
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-1 Arr
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T an an
=O
那么
aT j a j = a1 j , a2 j ,
分块矩阵运算时，把子块作为元素处理。 例1．设矩阵 1 0 A= 0 0 0 1 3 1 2 4 ， B= 0 -1 0 0 0 -1 1 2 2 0 6 3 0 -2 0 0 1 0 0 0 ， 0 1
用分块矩阵计算kA，A+B及AB。
解：将矩阵A，B进行分块：A= I C ，B= D O ， O -I F I 则 k 0 kI kC kA= = 0 O -kI 0
O A2 O
O B1 O = O A返回
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分块对角矩阵的性质
A11 设A = A22
k A11 k A =
Arr
k A22
是为分块对角矩阵
k Arr
-3 -2 0 0
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- 2 o -1 = -1 A22 0 0
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0 0 5 -2
0 0 - 2 1
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例5：往证 Amn = Omn的充分必要条件是方阵ATA = Onn ． 证明：把 A 按列分块，有 A = (aij )mn = a1 ,a2 ,