似， 都可以当成梁来分析， 把标准梁理论中改善刚度的经验迁移至类似梁的大型 装配结构上，这是工程上的常用的方法。 另外我们学习板壳理论时得知加强筋可以显著提高板壳的局部和整体刚度， 如图 2 所示。局部加强筋其实孤立地看也是梁，那么怎么提高局部加筋的刚度最 高效， 是不是也可以从标准梁理论中获得启发？没错， 这也是工程上常用的方法。
图8 （4）材料的弹性模量、密度与材料选择，大家都知道材料的弹性模量 E 是个直 接影响结构刚度的重要物理量，例如，图 1 中梁截面的 YZ 平面内的抗弯刚度公 式 Ebh3 / 12 表明，同样的外形和尺寸，E 越大，刚度越好。但是进一步思考，相 同的质量，选择密度小的材料，这样结构的几何尺寸就可增加，尽管它的弹性模 量可能更小一些，但整体刚度是否会更好？下面用一个例子说明这个问题。 我们还拿截面如图 1 的标准梁为例，其 YZ 平面内的截面抗弯刚度公式为
m 和 l 都假定不变， E / 3 决定不同材料的梁 YZ 平面内截面抗弯刚度的大小值。 例如，钢和铝对比，一般 E钢 / E铝 3，钢 / 铝 3， 在上述问题中铝梁 YZ 平面内
的截面抗弯刚度是钢梁的 9 倍！ 上述推理过程还可推广至其它可用公式推导求解 的简单刚度问题，例如梁的拉压、扭转，板的弯曲等等。 上面我们实际做的是一道选择题，对比前面所述几何外形、约束、预载荷等 可以自主设计的问题，我们面对材料往往只是选择而已。按经济学的话说，就是 当你选择一种材料的时候， 就必须承担不选择另一种材料的代价，所以我们往往 需要多试算几种材料，看看满足刚度指标的前提下，哪种材料的结构重量最小。 当然，有时候因为工艺限制，密度低而尺寸大的材料加工不便，尺寸受到限 制，可供选择的材料会很有限，如某些对刚度要求很高的复杂薄钣金冲压件，如 汽车发动机盖的内板，就算用铝，板子也不能做太厚，只能选弹性模量大的钢。 2.固有频率 CAE 固有频率需要重点关注的重要影响因素有承载刚度和质量。 （1）本文第 1 节第（1）条已讲述了承载刚度的关键影响因素，这里不再赘述， 但是有一点值得强调，本文第 1 节第（1）条说，材料各部位的局部刚度对某一 点的整体刚度的贡献比重是不同的，同样，对于不同的固有频率振型，各部分刚 度的所占的影响比重不尽相同。 如图 9 所示，对于相同简支杆件的第一阶和第二 阶振型，影响固有频率的最关键刚度区域也不同,对于第一阶振型加强杆件中间 区域在该模态振动平面内的抗弯刚度，可以最高效的提高其在该模态的固有频 率；而对于第二阶振型，就不同了。有一点需要注意，提高局部抗弯刚度的同时 需保持局部质量不发生变化，否则不一定提高共振频率。 最后提一个思考方法， 在动力学分析常用达朗伯原理，即把材料的惯性力当 成静态载荷加到结构中去， 用静力学的方式来分析动力学问题，对于上面处于第 一阶振型的简支杆件，其处于某一个振动位置各处的惯性力分布如图 10 所示， 不过可惜， 我们在分析静态承载结构的时候较少碰到这种复杂载荷工况，我们在 调节静载刚度的经验也许不能直接的运用到动载刚度的调节， 但或许可以借助相 近的静载刚度问题猜测哪里是最有效的局部刚度加强区， 比如这个问题就可借助 本文第 1 节第（1）条图 3 所示结构的经验，猜测到中央区域可能是对第一阶振 动频率最有效的局部刚度加强区，事实也正如此。而对于图 9 中二阶振型的刚度 加强问题，也是如此，只是将梁比作有中间铰支座的两段简支梁进行分析。
图7 下面介绍一项个人经验——有关约束增多对结构整体刚度影响的经验， 即约 束的自由度增多，区域加大，结构的整体刚度越好。用正式的语句介绍，便提出 本人的第一个力学假说——姚氏力学第一假说：
对于某一套受外力作用的力学结构系统，如果增加约束，则该系统的各点的 刚度均增加，即各点的位移均变小。 上述假说似乎显而易见的，但可惜未见数学证明，但即便如此，仍可资参考 研究，恳请有识之士予以论证。 （3）预载荷 预载荷可能改变结构在某种承载形式下的刚度。当然， 因为结构刚度是针对 某种承载形式而言的，所以同样的预载可能对不同的承载形式下的刚度，其影响 也不尽相同。如图 8（a）所示的材料力学的横纵弯曲梁，随着外载荷的逐渐施 加，梁逐渐变形，轴向预载压力对梁的附加弯矩也不断增加，相比没有预载的情 况，梁的刚度变小了；预载反向则产生反向附加弯矩，则刚度变大，同琴弦的原 理。类似的道理适用于图 8（b）的一度超静定结构。但是这仅仅针对弯曲外载， 如果外载荷也是沿轴向的， 则轴向预载对刚度的影响作用消失， 轴向刚度不变 （忽 略截面积因拉伸而变化） 。强调一句，图 8 中的横纵弯曲梁和一度超静定直梁的 受力不符合线性假设，CAE 分析中必须用非线性算法。
Ebh3 / 12 。现在问:如果重量不变，梁的宽度、长度均不变，选用哪种材料使该
梁在 YZ 平面的截面抗弯刚度最大？我们把该抗弯刚度的公式变一下形——
Eb(m/( bl ))3 / 12 ( E / 3 )(m4 /(12b2l 3 )) ，其中 m 是质量、l 是梁长，ρ 是密度，b，
图3
图4
图5
图6
另外我们在改变结构的几何尺寸，以改变整体承载刚度时， 还应注意一个有 趣的现象——“局部刚度增效递减-减效递增现象” ，用正式的话就是， 为了改变整体刚度而改变局部刚度的方式，因增加的程度增加，效果递减； 因减小的程度增加，效果递减。 其实这很好理解， 如果增加局部刚度至绝对刚性，对整体刚度的增效就达到 极限了， 不能增加了，所以增加一个很强的局部的刚度不能对整体刚度有什么提 高，相反，如果减少局部刚度至绝对柔软，对整体刚度的减小就十分夸张，也许 可以用一个球铰来比喻这样的连接部位， 所以过度减小一个不起眼的非高效影响 整体刚度的局部的刚度也可能对整体刚度带来灾难性的后果。 （2） 约束 约束的改变往往剧烈影响或从本质上改变结构的传力方式， 进而改变结构的 承载刚度。约束的要素可分为四个：约束的类型（是哪几个自由度） ，约束的方 向（相对哪个坐标系） ，约束的位置（在什么地方约束） ，约束的区域（约束的区 域多大） 。它们均深刻地决定着约束的影响价值。 约束的类型和方向的变化较易理解， 但是约束的位置对整体刚度的影响就不 是那么好判断了，此时可以通过理论推理，推导公式及查询力学工程设计手册， 来预测某些约束位置的几何参数影响整体刚度的程度。 例如图 7 中简支梁的约束 孔向下调一点便减小中央位移甚多，原因是强化了刚架角点内力矩，该内力矩正 好克制中央点在外载作用下的位移，这一点可借鉴结构力学中有关刚架的知识。
姚氏力学 CAE 十三篇——05-力学 CAE 中的关键影响因素
第一版 姚思捷 caeman@
本文是本套文章中最精华的部分之一,如果把本套文章比作一把枪，那本文 就是这把枪的子弹。 本套文章第一篇说了，本套十三篇文章的宗旨在于构建一整 套力学 CAE 分析问题， 解决问题的方法体系，而本文关注的是力学 CAE 所涉力学 基础知识中最核心最灵魂的脉络，是这方法体系的基础的基础。 本文首先针对整个力学学科最基本的四大分析对象：刚度、固有频率、稳定 性、应力，详细介绍了与之相关的各关键影响因素，先从顶层影响因素讲起，深 入各核心影响因素， 最后将最最核心的关键影响因素归纳总结成一个严密的网络 体系——“四元图” ，方便 CAE 初学者按图索骥，有助于他们分析问题，解决问 题。同时还介绍了个人凭经验总结出的“增效递减、减效递增现象”以及“姚氏 力学三大假说” ，虽是假说，没有经数学证明，却也有颇多例证，值得大家参考 研究。最后简单提了一下疲劳这个分析对象的关键影响因素。 本文假定读者已经精熟四大基础力学：理论力学、材料力学、弹性力学、结 构力学的基本概念、理论、公式、结论。如果读者觉得自己在阅读本文有些困难 时， 也许是因为以上知识有些生疏， 请随时查阅相关教材， 获得必要的知识基础。 下面请看详细论述： 1.承载刚度 CAE 承载刚度分为整体刚度和局部刚度， 局部刚度的度量可以通过把其它部分当 成刚性来评测零件局部的刚度。我们在精密测量，机械加工，机械操纵，消费产 品领域对变形的控制都要求很高， 所以控制整体变形， 即控制整体刚度就很重要。 而在固有频率、应力、稳定性等分析方面也很关心刚度。真正需要我们重点关注 的关于承载刚度的四个方面关键影响因素： 几何外形， 约束形式与位置， 预载荷， 材料的弹性模量、密度与材料选择。下面将详细介绍这四个方面。 （1）几何外形 我们由梁的理论知识可知， 等直梁的整体抗弯刚度的改变可以靠改变整根梁 的截面的几何外形，即改变梁截面惯性矩 I 而获得。举个例子，截面如图 1 的梁 的 YZ 平面内的抗弯刚度可由公式 EI= Ebh3 / 12 确定，其中 b 是宽度，h 是高度， E 是弹性模量，显然 h 比 b 对截面惯性矩 I 的贡献要大得多，于是我们为了提高 梁 YZ 平面内的抗弯刚度，应该把材料更多的分到 h 上面。 以上推理可推广至其它可用公式推导求解的简单刚度问题，例如梁的拉压、 扭转，板的弯曲等等。 其实工程中很多大型装配结构只要整体外形、约束和受载形式和标准梁相
图9
图 10
（2）质量，质量的大小和分布对振动都很关键，如图 11 所示，同样的质量块， 几乎不改变整体体刚度，但不同的分布对共振频率的影响相距甚远！
图 11 3.应力 CAE
图 12
应力是静强度和疲劳强度分析基础，是力学中最重要的基本概念。应力分析 焦点往往是最严重的局部， 应力分析重点关注的关键影响因素有四方面——局部 几何突变、 局部几何外形、 内力载荷分布和材料的失效强度、 密度与材料的选择。 （1）局部几何突变，它会造成局部应力比该突变区附近的应力高出几倍。局部 几何突变处的应力的飙升， 绝不是因为该处附近的承载截面系数太低，而仅仅因 为自身的局部几何突变，该现象称为“应力集中” ，如图 12 所示，圆圈标注区的 应力比没有加强区域的应力还高，这就是应力集中。 但对于塑性材料的静态强度问题， 过于微小的几何缺陷、 划痕、 细小圆角等， 不需要过多担心， 因为塑性材料的受载后的局部细小应力集中会因塑性变形而大 大缓解， 对静强度几乎没有影响。 所以对于塑性材料的静态强度问题的应力 CAE， 我们对于微小的几何缺陷、划痕可直接忽略；对于细小的圆角，我们没有办法忽 略， 只能局部适当加密， 确保应力结果网格加密收敛， 并用材料非线性 CAE 计算， 一般就会发现，局部几何突变区的高应力消失了，当然如果经验丰富，在线性 CAE 应力结果中看到突变区较小且附近应力较低，就可认为该处静强度合格。 然而对于脆性材料的局部细小应力集中一般都要足够重视， 因为它没办法用 塑性变形去降低应力集中， 应力集中区的过高应力会引起开裂。所以对于脆性材 料消除局部缺陷是很重要的。 减小应力集中的方法有很多，多靠创造力和经验积累，首先是应力集中之间 不能靠太近， 根据圣维南原理，局部的几何变化及增添平衡力系不会给远离该局 部的其它区域的应力造成影响，相反，如果应力集中靠得太近，某处的应力就会 因为多处应力集中而多次飙升， 后果严重。另外还有很多减小应力集中的局部调 节的方法，如图 12 的加大圆角，图 13 的增加圆弧槽，图 14 的增加渐变槽等等。