高等数学二重积分总结. 第九章 二重积分 【本章逻辑框架】

【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。

⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。

⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。

在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12, , , n σσσ∆∆∆ 的分法要任意，二是在每个

小区域i σ∆上的点(, i i i ξησ∈∆的取法也要任意。有了这两个“任意”， 如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(, f x y 在区域D 上的二重积分存在。

2．明确二重积分的几何意义。 (1 若在D 上(, f x y ≥0，则(, d D f x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以 (, f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(, f x y ＝1时，(, d D f x y σ ⎰⎰表示平面区域D 的面积。 (2 若在D 上(, f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(, d D f x y σ⎰⎰的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3若(, f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(, d D

f x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积. 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数(, f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。

【主要概念梳理】 1. 二重积分的定义 设二元函数f(x,y在闭区域D 上有定义且有界. 分割 用任意两组曲线分割D 成n 个小区域12, , , n σσσ∆∆∆ ，同时用i σ∆表示它们的面积，1,2, , . i n = 其中任意两小块i σ∆和( j i j σ∆≠除边界外无公共点。i σ∆既表示第i 小块, 又表示第i 小块的面积.

近似、求和 对任意点(, i i i ξησ∈∆ ,作和式1(, . n i i i i f ξησ=∆∑ 取极限 若i λ为i σ∆的直径，记12max{, , , }n λλλλ= , 若极限 01lim (, n i i i i f λξησ→=∆∑ 存在，且它不依赖于区域D 的分法，也不依赖于点(, i i ξη的取法，称此极限为f (x,y 在D 上的二重积分. 记为

01(, d lim (, . n i i i D f x y f λσξη→==∑⎰⎰ 称f (x,y 为被积函数，D 为积分区域，x 、y 为积分变元，d σ为面积微元(或面积元素.

2. 二重积分 (, d D f x y σ⎰⎰的几何意义 (1 若在D 上f (x,y ≥0，则(,d D fx y σ⎰⎰表示以区域D 为底， 以f (x,y 为曲顶的曲顶柱体的体积. (2 若在D 上f (x,y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(, d D f x y σ⎰⎰ 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3若f (x,y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域 上为负的，则(, d D f x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积. 3．二重积分的存在定理 3.1若f (x,y 在有界闭区域D 上连续，则f (x,y 在D 上的二重积分必存在(即f (x,y 在D 上必可积.

3.2若有界函数f (x,y 在有界闭区域D 上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则f (x,y 在D 可积.

4．二重积分的性质 二重积分有与定积分类似的性质. 假设下面各性质中所涉及的函数f (x , y ，g(x,y在区域 D 上都是可积的.

性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即 [(, (, ]d(, d (, d . D D D f x y g x y f x y g x y σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即 (, d (, d (. D D kf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰为常数 性质3 若D 可以分为两个区域D 1, D 2，它们除边界外无公共点，则 12 (, d (, d (, d . D D D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 性质4 若在积分区域D 上有f (x , y =1，且用S (D 表示区域D 的面积，则 d (. D S D σ=⎰⎰ 性质5 若在D 上处处有f (x , y ≤g (x , y ，则有 (, d (, d . D D f x y g x y σσ≤⎰⎰⎰⎰ 推论 (, d (, d . D D f x y f x y σσ≤⎰⎰⎰⎰ 性质6(估值定理 若在D 上处处有m ≤f (x , y ≤M ，且S (D 为区域D 的面积，则

( (, d (. D mS D f x y MS D σ≤≤⎰⎰ 性质7(二重积分中值定理 设f (x , y 在有界闭区域D 上连续，则在D 上存在一点(, ξη, 使

(, d (, (. D f x y f S D σξη=⎰⎰ 【基本问题导引】 根据二重积分的几何意义或性质求解下列各题： 1．2d D a xdy =⎰⎰，其中222{(, |}D x y x y a =+≤ 2．设D 是由x 轴，y 轴与直线1x y +=所围成的区域，则21( , D I x y d σ=+⎰⎰32( D

I x y d σ=+⎰⎰的大小关系 是 . 【巩固拓展提高】 1．若f (x , y 在有界闭区域D 上连续，且在D 的任一子区域D *上有* (, d 0D f x y σ=⎰⎰，试证明在D 内恒有f (x , y ＝0 2．估计22(y d D I x xy x xdy =+--⎰⎰的值，其中{(, |02,01}.D x y x y =≤≤≤≤ 3．设f (x , y 是有界闭区域D ：222x y a +≤上的连续函数，则201 lim (, a D f x y dxdy a π→⎰⎰的值为多少？ 【数学思想方法】 二重积分是一元函数定积分的推广与发展，它们都是某种形式的和的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解二重积分的概念与性质。

9.2 在直角坐标系中二重积分的计算 【学习方法导引】 本章的重点是二重积分的计算问题，而直角坐标系中二重积分的 计算问题关键是如何确定积分区域及确定X 型区域还是Y 型区域，这也是本章的难点。

直角坐标系中二重积分计算的基本技巧： (1在定积分计算中，如果D 的形状不能简单地用类似 12( ( x y x a x b ϕϕ≤≤⎧⎨ ≤≤⎩或12( ( y x y c y d φφ≤≤⎧⎨≤≤⎩的形式来表示，则我们可以将D 分成若干块，并由积分性质

1 2 (, d (, d (, d . D D D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 对右端各式进行计算。 (2交换积分次序不仅要考虑到区域D 的形状，还要考虑被积函数 的特点。如果按照某一积分次序的积分比较困难，若交换积分次序后，由于累次积分的积分函数(一元积分 形式发生变化，可能会使新的积分次序下的积分容易计算，从而完成积分的求解。但是无论是先对x 积分，再对y 积分，还是先对y 积分，再对x 积分最终计算的结果应该是相同的。一般的处理方法是由积分限确定积分区域D ，并按照新的积分次序将二重积分化成二次积分。具体步骤如下：①确定D 的

边界曲线，画出D 的草图； ②求出D 边界曲线的交点坐标； ③将D 的边界曲线表示为x 或y 的单值函数； ④考虑是否要将D 分成几块； ⑤用x , y 的不等式表示D .

注：在积分次序选择时，应考虑以下几个方面的内容：(ⅰ 保证各层积分的原函数能够求出；(ⅱ 若D 为X 型(Y 型, 先对x (y 积分；(ⅲ 若D 既为X 型又为Y 型，且满足(ⅰ 时，要使对D 的分块最少。

(3 利用对称性等公式简化计算 设f (x , y 在区域D 上连续，则 ①当区域D 关于x 轴对称

若(, (, f x y f x y -=-，则(, d D f x y σ⎰⎰＝0； 若(, (, f x y f x y -=，则(, d D f x y σ⎰⎰＝21 (, d D f x y σ⎰⎰，其中D 1为D 在 x 轴上方部分。