第三章 超静定结构的解法—力法
Methods of Analysis of Statically Indeterminate Structures － Mechanics
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刘敬喜，2008
§ 3-1 超静定结构的组成与超静定次数的确定
概述
超静定结构是相对于静定结构而言的。静定结构 是几何不变而又没有多余约束的体系，其反力和内力 只需静力平衡方程即可求得。所谓几何不变体系是指 如果不考虑材料应变所产生的变形，体系在受到任何 载荷作用后能够保持其固有的几何形状和位置的体系。 超静定结构有以下几个特征：
vq,2lq2 2 lE 2 4 l3I2 2 ll2 2 642 2 ll2 2 ll2 2 2q4l
在vR集1l 中3R载E 1l3荷I,vRR12l1作5用6RE1l下3I:
0.713ql2
在集中载荷R2作用下:
vR2l
56RE2l3I,vR2,2l
8R2l3 3EI
几何特征:有多余约束的几何不变体系。
静力特征:仅由静力平衡方程不能求出所有内力和反力.
超静定问题的求解要同时考虑结构的“变形、本构、 平衡”.
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§ 3-1 超静定结构的组成与超静定次数的确定
1）超静定结构的类型
桁架
拱
超静定梁
刚架
桁架
组合结构
3
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§ 3-1 超静定结构的组成与超静定次数的确定
支座1处
的转角
支座2处
1 0
的转角
21 23
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§ 3-2 力法的基本原理及典型方程
上式即为变形协调条件。利用两端自由支持单跨 梁的弯曲要素表，可以得到转角与弯矩和外载荷之间 的关系式，并将他们代入到上式，得到：
M
1
1
M
m1l
3 EI
2
m 2l 6 EI
q 2
m1l 6 EI
为了求出基本结构中多余的约束力，必须考虑原
结构在多余联系处的已知变形条件。下面以求M1和M2 （图3-6b）为例来说明。原结构（图3-6a）在均布载荷
q作用下在固定端处的转角为零，在中间支座处转角连
续。为使基本结构的受力和变形与原结构完全一致，
就应使基本结构在多余约束力M1 、 M2 载荷q作用下在 支座1处的转角为零，在支座2处的转角连续，即：
解
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§ 3-2 力法的基本原理及典型方程
看下面简单的例子：
q
如图3-6所示的双
1 l
2
3 跨梁，它是二次超静
l
定结构。在用力法计
图3-6a
M1
(2)
M2
算时，可将其两个多 余联系去掉。
q
1 lLeabharlann 2图3-6bl
R1
l
R2
2 l
图3-6c
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§ 3-2 力法的基本原理及典型方程
2）超静定次数确定 （1）超静定次数——结构多余约束或多余未知力的数
目，即为超静定次数。
（2）确定超静定次数的方法——通过去掉多余约束来
确定。（去掉n个多余约束，即为n次超静定）。
（3）去掉（解除）多余约束的方式 a、撤去一个活动铰支座、去掉或切断一根链杆——去
掉1个约束（联系）；
X1
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刘敬喜，2008
m（杆个数）； r（支反力数 目）； j（节点数）
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§ 3-1 超静定结构的组成与超静定次数的确定
X2 X1
X3
X2 X1
X3
X5 X4
X6
一个无铰封闭框有 三个多余约束.
3×封闭框数－单铰数目 =3×3－3=6
3×封闭框数－单铰数目 =3×3－4=5
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刘敬喜，2008
此链杆不能去掉
§ 3-1 超静定结构的组成与超静定次数的确定
b、去掉一个单铰或一个固定铰支座—— 去掉2个约束；
X1 X2
c、切断刚性联系（梁式杆）或去掉一个固定端——
去掉3个约束；
X3
X1
X1
X3
X2
X2
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§ 3-1 超静定结构的组成与超静定次数的确定
d、将刚性连接改为单铰—— 去掉1个约束。
第二种等效方法
求解：
变形 v1 0
R1
条件 v2 0 R 2
在均布载荷q作用下:
R1 1.1429ql()
R2 0.3929ql()
固定端支反力
vq l q 2 2 lE 2 4 l3I2 ll2 2 6 42 ll2 ll2 2 12 q7 34 l
R0.464q2l M 0.0 7 1 3
0.071ql2
0.107ql2
-0.125ql2
-0.125ql2
0.036ql -0.5ql
0.5ql
0.036ql
-0.107ql -0.5ql
0.5ql
-0.107ql
0.713ql2
0.464ql
0.107ql2
0.536ql
0.393ql
0.607ql 18
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§ 3-2 力法的基本原理及典型方程
X3 X1
X1 X2 X3
X2
几何可变体系不能 X 3 作为基本体系
X1
X2
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§ 3-1 超静定结构的组成与超静定次数的确定
X1 X2
X3
X1
X2
X3
X1 X2
X3
平衡方程个数：2×8＝16
未知数个数：16+3=19 多余约束力：19-16＝3
计算桁架超静定次数的简单 公式(m+r)-2j=16+3-2×8=3
m 2l 3 EI
1
ql 4 24 EI
2
ql 4 24 EI
M2
根据变形条件
2m2l/3EI1110
q
IV 2
ql 4 24 EI
212222IV23 求解：
M1 0.071ql2
M2 0.107ql2
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刘敬喜，2008
§ 3-2 力法的基本原理及典型方程
求出基本未知量M1和M2后，就可分别对两个静定 单跨梁进行计算，并用叠加法画出梁1-2和2-3的弯矩图 和剪力图，此即原双跨梁的弯矩图和剪力图。
X1
注意事项
（1）对于同一超静定结构，可以采取不同方式去掉多余 约束，而得到不同形式的静定结构，但去掉多余约束的 总个数应相同。
（2）去掉多余约束后的体系，必须是几何不变的体系，因
此，某些约束是不能去掉的。
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§ 3-1 超静定结构的组成与超静定次数的确定
X2 X1
X3
X3
X2 X1
此两链杆任一根都不能去掉
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刘敬喜，2008
§ 3-2 力法的基本原理及典型方程
解除多余约束，转化为静定结构。将多余 约束以多余未知力代替。这种把多余约束力 作为基本量的计算方法——力法。
力法的基本思想: 1.找出未知问题不能求解的原因, 2.将其化成能求解的问题, 3.找出改造后的问题与原问题的差别, 4.消除差别后,改造后的问题的解即为原问题的