A
M
x
例2 证
证明数列 x n = 3 + 3 +
显然 x n + 1 > x n ,
+ 3
( n重根
式)的极限存在 , 并求其极限 .
∴ {xn } 是单调递增的 ;
又 ∵ x1 = 3 < 3, 假定 x k < 3, x k + 1 = 3 + x k< 3 + 3 < 3,
∴ {xn } 是有界的 ;
lim
n n +1
2
n→ ∞
= lim
1
n→ ∞
= 1,
由夹逼准则得
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件 x1 ≤ x 2 x1 ≥ x 2
准则Ⅱ
≤ x n ≤ xn+1 ≤ ≥ x n ≥ xn+1 ≥
, 单调增加 , 单调减少
单调数列
单调有界数列必有极限 .
几何解释:
x1 x 2 x 3x n x n + 1
x2 ∵ lim = 0, x→0 2
∴ lim cos x = 1,
x→0
∴ lim(1 cos x ) = 0,
x→0
又 ∵ lim 1 = 1,
x→0
sin x ∴ lim = 1. x→0 x
注:由证明过程得重要不等式
sin x ≤ x , x ∈ R.
tan x 例3 求 lim . x→ 0 x
sin kx = 8, k = ? 例6 设 lim0 x→ x sin kx sin kx = lim k 解 8 = lim x→0 x→0 x kx sin kx ∴ k = 8. = k lim = k x→ 0 kx
1 x (2) lim (1 + ) = e x→∞ x 1 n 先证 lim(1 + ) 存在. n→ ∞ n
A 2 = 3 + A,
二,两个重要极限
(1)
C
sin x lim =1 x →0 x
π
B
o
x
设单位圆 O , 圆心角 ∠AOB = x , (0 < x < ) 2
D
A
作单位圆的切线 ,得ACO .
扇形 OAB的圆心角为 x ,
OAB的高为 BD ,
∵ S OAB < S扇 < S OAC
于是有 BD = sin x , AC = tan x ,
1 n 设 x n = (1 + ) n n 1 n( n 1) 1 = 1+ + 2+ 1! n 2! n
( x→∞ )
0
x → x0 ( x→∞ )
lim h( x ) = A,
那末 lim f ( x )存在, 且等于 A.
x → x0 ( x→∞)
准则 I和准则 I'称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关 键是构造出 yn与 zn ,
并且 yn与 zn的极限是容易求的 .
例1例4 求 lim 2 x→0 x
2
x 2 x sin 2 sin 2 2 = 1 lim 解 原式 = lim 2 2 x →0 x→ 0 2 x x 2 2 x sin 1 2 = 1 12 = 1 . = lim 2 2 2 x →0 x 2
∴ lim x n 存在. 设 lim x n =A. n→ ∞
n→ ∞
2 lim x n + 1 = lim ( 3 + x n ), n→ ∞ n→ ∞
2 ∵ xn+1 = 3 + xn , xn+1 = 3 + xn ,
1 + 13 1 13 (舍去) , A= 解得 A = 2 2 1 + 13 ∴ lim x n = . n→ ∞ 2
§6. 极限存在准则,两个重要极限 一,极限存在准则 1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
(1) yn ≤ xn ≤ zn
n→ ∞
( n = 1,2,3 )
( 2) lim yn = a , lim z n = a ,
那末数列 x n 的极限存在, 且 lim x n = a .
1 cos x ∴ lim = 1. 2 x →0 x 2
例5
sin(x 2 4) 求 lim . x →2 x2
2
sin(x 4) ( x + 2) 解 原式 = lim 2 x→2 x 4
sin(x 2 4) = lim lim( x + 2) = 1 4 = 4 2 x→2 x 4 x→2
1 1 1 ∴ sin x < x < tan x , 2 2 2
∴ sin x < x < tan x , 即 cos x < sin x < 1, x
π 上式对于 < x < 0也成立 . 2
当 0 < x < 时, 2
π
x x 2 x2 0 < cos x 1 = 1 cos x = 2 sin 2 < 2( ) = , 2 2 2
n→ ∞
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+
1
+
<
1 n +n
2
).
1 n < + 解 ∵ 2 2 n +n n +1
n = lim 又 lim 2 n→ ∞ n + n n→ ∞ 1
+
n n +1
2
n +n
2
,
1 1+ n
= 1,
1 1+ 2 n 1 1 1 lim ( 2 + + + ) = 1. 2 2 n→ ∞ n +1 n +2 n +n
n→ ∞
n→ ∞
证 ∵ yn → a ,
zn → a ,
ε > 0, N 1 > 0, N 2 > 0, 使得
当 n > N 1时恒有 y n a < ε , 当 n > N 2时恒有 z n a < ε ,
取 N = max{ N 1 , N 2 }, 当 n > N时, 上两式同时成立, 即 a ε < yn < a + ε, a ε < z n < a + ε,
当 n > N时, 恒有 a ε < yn ≤ xn ≤ zn < a + ε ,
即 xn a < ε 成立 ,
∴ lim x n = a .
n→ ∞
上述准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′ 如果当 x ∈ U ( x 0 ) (或 x > M )时,有
o
(1) g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ), ( 2 ) x → x g ( x ) = A, lim
解
tan x sin x 1 lim = lim x →0 x →0 x x cos x sin x 1 =1 = lim lim x →0 x x → 0 cos x tan x ∴ lim =1 x →0 x
tan 2 x tan 2 x 例如: lim = lim 2 x→0 x→0 x 2x