第26卷第3期2008年5月西安航空技术高等专科学校学报

JournalofXi󰀁anAerotechnicalCollegeVol󰀁26No󰀁3May2008

收稿日期:2008󰀂01󰀂08

作者简介:史历(1956-),男,山西省垣曲县人,1982年毕业于西安交通大学,现任职于西安航专基础课部,副教授,主要从事

高等数学及应用数学的教学与研究。西安交通大学管理学院高培中心2000~2006年特聘教授,西北大学软件与微

电子学院2004~2008年特聘教授,硕士生导师,研究方向:线性规划、动态规划、图与网络优化的数学模型与应用。空间直角坐标系与先天八卦图的关联

史󰀂历

(西安航空技术高等专科学校基础课部,陕西西安710077)

摘󰀂要:几何学与代数学的起源;先天八卦的来源;笛卡儿的贡献;莱布尼兹从八卦里受到的启发;数轴与太极的关系,平面直角坐标系与两仪生四象的关系,在空间平面直角坐标系上建立正八面体,表示出先天八卦图的空间立体

形状;空间直角坐标系与先天八卦图对应对称关系的一致性。应将 先天八卦图!申报为我国非物质文化遗产。

关键词:直角坐标系;正八面体;先天八卦图;先天八卦图的立体形状

中图分类号:029:P128󰀂文献标识码:A󰀂文章编号:1008󰀂9233(2008)03󰀂0061󰀂04

1󰀂几何与代数的结合

最早的远古代数有记录的开端可以追溯到古巴比伦,其

年代大约始于公元前1800年左右。而标志中国古代数学体

系形成的∀九章算术#,是一部现在有传本的、最古老的中国

数学书,它的编纂年代大约是在公元1世纪东汉初期。几何

与代数这两门科学的起源与发展,是人类对自然界的认识和

利用的一种描述和记载。人类文化的初期,是先对自然现象

如太阳、月亮、植物和动物等的认识和区别,产生了图腾文

化,这也是几何学的初芽。随着社会的发展和进步,产生了 石头记数!、 结绳记数!和 刻痕记数!的代数思想和方法。

代数学与几何学的结合,是法国科学家笛卡儿(Descartes

R.1596年3月31日∃∃∃1650年2月11日)的贡献。笛卡

儿分析了几何学与代数学的优缺点,表示要去 寻求另外一

种包含这两门科学的好处、而没有它们的缺点的方法!。

1637年,笛卡儿发表了∀几何学#,创建了直角坐标系,进而创

立了解析几何学,表明了几何问题不仅可以归结成为代数形

式,而且可以通过代数变换来实现发现几何性质,证明几何

性质。解析几何的出现,改变了自古希腊以来代数和几何分

离的趋向,把相互对立着的 数!与 形!统一了起来,使几何

曲线与代数方程相结合。笛卡儿的这一天才创见,更为微积

分的创立奠定了基础,从而开拓了变量数学的广阔领域。此

后,人类进入变量数学阶段。正如恩格斯所说: 数学中的转折点是笛卡儿的变数,有

了变数,运动进入了数学;有了变数,辩证法进入了数学;有

了变数,微分和积分就立刻成为必要的了。!

法国数学家拉格朗日(LagrangeJ.L.,1736.1.25∃

1813.4.10)曾经说过: 只要代数同几何分道扬镳,它们的进

展就缓慢,它们的应用就狭窄。但是,当这两门科学结合成

伴侣时,它们就互相吸取新鲜的活力。从那以后,就以快速

的步伐走向完善。!

我国数学家华罗庚(1910.11.12∃1985.6.12)说过: 数

与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。数缺形时少直觉,形少

数时难入微。形数结合百般好,隔裂分家万事非。切莫忘,

几何代数统一体,永远联系,切莫分离!!

数学的形成和发展伴随着人类文化的起源和发展,数学

的研究和应用也促使着人类的进步更加文明和科学。

2󰀂太极与八卦的产生

伏羲为人类文明进步做出的具大贡献是始画八卦,罗奉

十三年(己丑,公元前7712年),伏羲获白龟于白龟山(今河

南平顶山市)。他细心观察龟甲的分布,深入研究∀河图#、∀洛书#之间的内在联系,悟出了太极原理,始作∀太极图#。

他发现龟背甲骨中五环八,背甲十三,腹甲九,裙边甲二十

四,背圆,腹方,四足撑天地,遂明大道。于大隗山玄元洞(今

河南郑州新密市)推衍八卦,重为六十四卦。八卦可以推演出许多事物的变化,预测事物的发展。

伏羲传说是否暂且不论。1973年在江苏海安青墩遗址

出土的鹿角上刻有八个六爻数字卦,年代约在5500年前;引

起易学界、数学界和语言文学家的高度重视。八卦确实是上

古华夏先民们智慧的结晶,八卦是人类文明的瑰宝,公元

1700年左右,德国大数学家莱布尼兹(GottfriendWilhelmvon

Leibniz,1646.7.1.∃1716.11.14.)从一位友人送给他的中

国 易图!(八卦)里受到启发,最终悟出了二进制数之真谛;

率先为计算机的设计系统提出了二进制的运算法则,为计算

机的现代发展奠定了坚实的基础与卓越的贡献。八卦中包

含的 二进法!,现在广泛地应用于生物及电子学中。八卦中

的许多奥妙神奇之处,至今还正在研究和探讨之中。八卦是

华夏先民智慧的遗存,是我们民族的荣誉和骄傲,更需要我

们发挥这一瑰宝对现代人类文明的照射、对现代科学发展的促进。

空间直角坐标系与先天八卦图各自都有一个逐步形成

和完善的过程。不仅两者有联系,并且在它们各自逐步形成

和完善的过程中,也同样是相联系的。如果这种联系是肯定

的,是否可以推断:空间直角坐标系产生于先天八卦图。那

么,八卦这一华夏先民智慧的遗存,不仅让莱布尼兹从中悟

出了二进制数之真谛,也使笛卡儿创造了直角坐标系。下面

分别讨论空间直角坐标系和先天八卦图的逐步形成过程,及

在逐步形成过程中两者之间的对应与联系。

3󰀂数轴与太极

数轴是数学的基础知识之一,坐标系也是用数轴来定义

的。代数的基本元素实数与几何中的基本元素点,通过数轴

产生一一对应的关系;数轴通过原点将实数分为:正实数

(+)和负实数(-)。

八卦起源于太极,太极生两仪、两仪生四象、四象生八

卦。

古太极生古两仪:(古图中的方位是左东右西)

将正实数(+)与阳仪(∃)对应,将负实数(-)与阴仪

(∃∃)对应;再把古图的方位(左东右西)与现代作图的方

位(左西右东)相一致,则太极生两仪产生了数轴分实数。

4󰀂平面直角坐标系与两仪生四象

平面直角坐标系是由两个数轴将平面分为四部分,分别

称为四个象限(象限与四象,字面上就有一定的联系):第一象限中点的坐标(++),第二象限中点的坐标(-+),第三象限中点的坐标(--),第四象限中点的坐标(+-)。

两仪派生的四象分别为:

若将正(+)与阳(∃)对应,将负(-)与阴(--)对应,

则四个象限就与古四象完全相对应:(观看四象的阴阳是从

下向上)

从中文字面上观看:四象好似四个象限的简称。可能是

在把笛卡儿直角坐标系引入中国时,译著者就已经把它和古

四象联系在一起了。

5󰀂空间平面直角坐标系与先天八卦图

空间平面直角坐标系由三条相互垂直的数轴定义而成,

将空间划分为八个部分,分别为第一卦限(%)、第二卦限

(&)、第三卦限(∋)、第四卦限(()、第五卦限())、第六卦

限(∗)、第七卦限(+)、第八卦限(,)。如图1所示:

图1󰀂空间平面直角坐标与先天八卦图空间中任意一个点对应的三个有序实数的正负分别为:

第一卦限(%):(+++);第二卦限(&):(-++);

第三卦限(∋):(--+);第四卦限(():(+-+);

第五卦限()):(++-);第六卦限(∗):(-+-);

第七卦限(+):(---);第八卦限(,):(+--)。

从空间中任意一点的正负对应关系(或坐标系中八个卦

限的对称关系)来观察:

[第一卦限(%):(+++)]对应(对称)于[第七卦限

(+):(---)];

[第二卦限(&):(-++)]对应(对称)于[第八卦限

(,):(+--)];

[第三卦限(∋):(+-+)]对应(对称)于[第五卦限62西安航空技术高等专科学校学报第26卷()):(++-)];

[第四卦限(():(+-+)]对应(对称)于[第六卦限

(∗):(-+-)]。

再来观察先天八卦图(阴阳的顺序是从里向外,如兑:阴

阳阳),如图2所示:

图2󰀂先天八卦图从八卦中各爻阴阳的对应关系(或图中八个卦的对称关

系)来观察:

以上分别分析了空间直角坐标系各个卦限的对应对称

关系和先天八卦图中八个卦的对应对称关系,下面讨论如何

将两者结合在一起。在以下的讨论中不仅表示出空间直角

坐标系与先天八卦图的联系,而且给出了先天八卦图的空间

立体形状。分以下三个步骤完成:

(1)先建立八卦每个卦中的三爻阴阳与三个有序实数正

负之间的一一对应关系:

我们在描述事物的辩证对立关系时,时常用到上下、前后、正反、长短、高低、左右等等,数学常用正(+)负(-)来叙

述,而古人均用阳阴来表示;所以以上这种对应关系是很自然的。

(2)用空间解析几何的方法,在空间直角坐标系中作八

个平面:第一个平面:x+y+z=1取第一卦限中的部分;

第二个平面:x+y+z=1取第二卦限中的部分;第三个平面:-x+y+z=1取第三卦限中的部分;

第四个平面:-x-y+z=1取第四卦限中的部分;第五个平面:x+y-z=1取第五卦限中的部分;

第六个平面:-x+y-z=1取第六卦限中的部分;第七个平面:-x-y-z=1取第七卦限中的部分;第八个平面:x-y-z=1取第八卦限中的部分。

则由这八个平面围成一个八面体,如图3所示:

图3󰀂空间直角坐标系中作八个平面这样得出的八面体称为正八面体。该图形的形状有它

的背景,来源于天然钻石的形状。

(3)将八面体中的八个三角面赋予先天八卦图上的八个

卦:

第一个卦限平面x+y+z=1上的任一点(+++)对

应与(阳阳阳)为乾卦;

第二个卦限平面-x+y+z=1上的任一点(-++)对

应与(阴阳阳)为兑卦;

第三个卦限平面-x-y+z=1上的任一点(--+)对应与(阴阴阳)为震卦;

第四个卦限平面x-y+z=1上的任一点(+-+)对

应与(阳阴阳)为离卦;

第五个卦限平面x+y-z=1上的任一点(++-)对

应与(阳阳阴)为巽卦;

第六个卦限平面-x+y-z=1上的任一点(++-)对

应与(阴阳阴)为坎卦;

第七个卦限平面-x-y-z=1上的任一点(---)对

应与(阴阴阴)为坤卦;

第八个卦限平面-x-y-z=1上的任一点(+--)对

应与(阳阴阴)为艮卦。

如图4所示:(八卦的立体图形)

从图上可看到,空间直角坐标系八个卦限的对应对称关

系,与先天八卦图上的对应对称关系是完全一致的:

第一卦限点(+++)

乾卦(阳阳阳)󰀂 󰀂第七卦限点(+++)

坤卦(阴阴阴)

第二卦限点(-++)

兑卦(阴阳阳)󰀂 󰀂第八卦限点(+--)

艮卦(阳阴阴)

第三卦限点(--+)

震卦(阳阳阳)󰀂 󰀂第五卦限点(++-)

巽卦(阳阳阴)

第四卦限点(+-+)

离卦(阳阴阳)󰀂 󰀂第六卦限点(-+-)

坎卦(阴阳阴)63󰀂第3期史历:空间直角坐标系与先天八卦图的关联