图2
图1
19
图1
图2
20
• 如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0， 0）、A（2，0）、B（6，3）．
（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒 1个单位长度的速度沿着线段BC运动， 动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q 两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、 Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线 AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成 的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
• （2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、 CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、 A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形 O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1， y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当 S=36时点A1的坐标；
图2
图3
55
图4
56
图5
图6
图7
57
考点伸展
图8
58
1.3 因动点产生的直角三角形问题
59
例1
（1）求点A、B、C的坐标
图1
60
• （2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交 BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边 形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形 CQBM的形状，并说明理由
3
33
图2
5
• （2）由y33xx233x2233x
• 得抛物线的顶点M的坐标为(1, 3 ) ．所以
• tan∠BOM＝ 3
3
3
• 所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．
6
考点伸展
• 在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似， 求点C的坐标
如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO ＝30°， 因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC， 根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．
21
（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直 线PQ与x
图3
图4
22
例5 2009年临沂市中考第26题
• 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C （0，－2）三点．
• （1）求此抛物线的解析式
23
• 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C （0，－2）三点．
• ①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？ • ②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若
存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
48
图2
图3
图4
49
50
图5
图6
图7
例5
• 如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大 于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动 点（不与B、C重合）．连结DE，作 EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x， BF＝y．
图5
7
例2
图1
8
9
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
10
图2
图3
11
12
考点伸展
第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的， B是而∠QOA与∠QOC是互余的， 那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情 况．
这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下 来， 再根据两直角边对应成比例确定点B的位置． 如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意 的点Q呢？ 如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与 OB＝4OC矛盾．
为等腰三角形，求BP的长
32
33
34
35
36
例2 2012年扬州市中考第27题
（1）求抛物线的函数关系式；
图1
37
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小 时，求点P的坐标
图1
38
图2
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若 直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由
• （2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴， 垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶 点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符 合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由
24
25
图3
26
图4
27
• 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C （0，－2）三点．
• （3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得 △DCA的面积最大，求出点D的坐标
（1）求y关于x的函数关系式
图1
51
• （2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大 值是多少？
图2
52
图3
图4
53
例6
• 如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB 的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4， BC＝6，∠B＝60°
• （1）求点E到BC的距离
图 1
54
13
例3
14
图1
图2
15
图3
16
图4
17
例4
• 如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0） 、A（2，0）、B（6，3）
• （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐 标；
• 解：抛物线的对称轴为直线 ，
• 解析式为
，
• 顶点为M（1， 1）．
8
图1
18
• 如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0， 0）、A（2，0）、B（6，3）．
• （3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q， 使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出 点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
61
62
图2
图3
63
例2 2012年广州市中考第24题
（1）求点A、B的坐标
图1
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点， 当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
28
图5
29
图6
30
1.2 因动点产生的等腰三角形问题
31
例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题
• 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC ＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E， 点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动 点，且∠PDQ＝90°
• （1）求ED、EC的长； • （2）若BP＝2，求CQ的长； • （3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF
4
• （1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．
• 在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，
• 所以AH＝1，OH＝ ．3 所以A （-1, 3 ）
• 因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，
• 设y＝ax(x－2)，代入点A（-1，3） 可得 a=．3
• 所以抛物线的表达式为y 3xx2 3x23 23x
68
69
70
71
图2
图3
例4 2011年浙江省中考第23题
72
• （2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为 线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过 A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线， 求直线l1与l2的解析式．
• （3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点 C的坐标．
图1
3
• 思路点拨 • 1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求
∠BOM的大小． • 2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B
的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM． • 3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨
论△ABC与△AOM相似．
图1
39
图3
图4
图5 40
例3 2012年临沂市中考第26题
• 如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转 120°至OB的位置． （1）求点B的坐标
（2）求41
图2
图3
42
43
• 如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O 顺时针旋转120°至OB的位置．
图4
• （2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作 PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC 于N，连结PN，设EP＝x．
• ①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的 形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周 长；若改变，请说明理由；
• ②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点 P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出 所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理 由．
2015年中考数学压 轴题
1
第一部分 函数图象中点的存在性问 题
• 1.1 因动点产生的相似三角形问题
2
• 例1
• 如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y ＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO ＝BO＝2，∠AOB＝120°．
• （1）求这条抛物线的表达式；
• （2）连结OM，求∠AOM的大小；
73
图2
图3
74
例5 2010年北京市中考第24题
（1）求点B的坐标；
75
例6 2009年嘉兴市中考第24题
（1）求x的取值范围
（2）若△ABC为直角三角形，求x的
值
图1
76
77
图2
图3
78
79
例 7 2008年河南省中考第23题