可视化技术课程报告 ——离散网格上的曲率计算
姓名王娜 学号 201531491 院系信息科学与技术学院 专业软件工程 年级 2015级 1
离散网格上的曲率计算 摘要：离散曲面形状分析主要研究对各种离散形式曲面的进行曲率估算，设计更准确更有效率的曲率估算方法。本文主要综述了离散网格上曲率的多种估算方法，展望了这些问题的发展趋势。 关键字：离散曲面；网格曲面；曲率
1.离散曲面发展背景 随着三维数据采样技术和硬件设备的不断改善，以及图形工业对任意拓扑结构的光滑曲面造型的迫切需求，（这里的“任意拓扑”具有两个方面的含义：一是网格的亏格和相应曲面的拓扑结构的任意的；二是由网格的顶点和边法的特点所构成的图形是任意的。）使得离散曲面日益成为计算机图形学和几何设计邻域的宠儿。因此对离散曲面的估算微分量的研究逐渐成为一个新型课题。 将离散曲面估算得到的高斯曲率应用于离散曲面形状分析工具的设计，更加有效的提取其形状和特征区域，利于特征区域边界计算，区域分割。近年来，更是将离散曲面分析应用到实际生活，在医学领域，通过对大脑皮层的扫描，建立数字化模型，分析曲面形状，来获取大脑发育信息，甚至病变区域位等。成为病变检测和获取脑部发育信息的有力途径。
2.网格曲面上离散曲率的计算 三角网格模型在计算机图形学、计算机辅助几何设计中的使用日益广泛，但 是在三角网格上任意点处得到精确的法向量和曲率十分困难，主要原因是离散三角网格曲面并不是用传统微分几何中熟知的参数方程和隐式方程来定义，而是由 离散点云以及点与点之间的拓扑关系定义的，这样，传统微分几何中一阶微分和 二阶微分的计算不能简单地应用于离散三角网格曲面上。 一般来说，曲面的一阶微分量是指曲面的切平面方向和法向量，二阶微分量是指曲面的曲率等有关量。随着三维扫描技术的发展和逆向工程的兴起，三角网格曲面日益成为三维图形的一种通用表示方法，在计算机图形学，计算机辅助几 2
何设计中的使用日益广泛。但是由于三角网格曲面是由离散点云以及点与点之间的拓扑关系定义的，缺少曲面确切的解析表示，所以不再适用传统的解析曲面的曲率计算方法。 众所周知，曲率是曲面曲线的重要不变量，是传统微分几何中的重要基础。同样，三角网格的离散曲率也是离散曲面上应用的基础和前提。例如网格变形[1]，网格曲面的特征提取，网格光顺[2]，网格简化[3]，模型分块[4]等等。在这些应用中，通常需要首先估计离散曲面上某点的法向量和曲率，然后根据这些法向量或曲率定义一个范数，作为一个优化的标准，利用这个关于曲率泛函的优化标准再进行离散网格曲面的进一步处理。例如，在网格简化应用中，曲率的估计对确保优化三角剖分起着至关重要的作用。在曲面建模中，许多技术是用来由原始粗糙网格来创建光滑曲面的，离散曲率是当前近似情形的重要度量。精确的曲率和法向量也是网格去噪问题的基础。好的平均曲率和法向量估计是无扭曲曲面光顺技术的关键。在计算机图形学、图像分析处理和几何建模等研究领域中，如自由曲面、反求工程、图像识别、三维医疗图像重构以及人脸识别等，经常需要计算主曲率、平均曲率和高斯曲率等值，用于折痕、棱边、隆起、沟壑等关键特征的提取、噪声的过滤和曲面的修补等。这样，三角网格曲面上离散曲率的各种估计方法应运而生。 对于给定的描述一些光滑曲面的三角网格，有许多估算顶点法向量和曲率的方法"曲率估计算法多种多样，例如，利用欧拉公式，采用最小二乘的估算方法(Chenandschmitt,1992)[5];曲率张量的估计方法(Taubin,1995)[6]；法曲率积分公式的方法(Wa1LanabeandBelyaev,2001)[7]；曲率算子的方法(Meyer,2002)[8]估计顶点的法曲率，权值的选取在不断革新，从最初Henri Gouraud(1971)的等加权平均，到角度权值以及面积权值，而后Max(l999)给出的与角度和边长度相关的新权值，Sheng一GwoChen(2004)等又提出选择点到相邻三角形重心距离平方的倒数为权值。 除此之外，还有比较不同算法估算精度的文章，Tatiana(2003)对三角网格上高斯曲率和平均曲率不同的估计方法作比较，ShuangthuangJin(2003)等对三角网格上点法向量的不同估计方法的比较。还有一些网格应用的文章，Dyn和Hormann不但给出新的高斯曲率和平均曲率估算定义，还应用估算的曲率定义范 3
数，进行网格简化。 本文主要综述了较为基础的Chen 和Schmitt的方法，以及介绍了罗良峰和齐宝明针对该问题提出的基于Taubin方法的改进，进行离散三角网格的曲率计算。
2.1 Chen 和 Schmitt 方法 三角网格模型一般情况下可以由一对线性表表示，M=(V,F);其中，表示顶点集，表示三角片集。如下图三角网格模型：
三角片fk的法向量气的计算式如下 其中，表示由顶点指向顶点的边向量；表示由顶点指向的边向量。我们称1-环邻域是与点相邻的三角形集合。图中除顶点外的其它顶
点组成的集合记为。如果顶点属于，则是的相邻点。中顶点个数称为其顶点的度，记为。包含的三角形片集合记为。如果三角形片记属于，记为，记为三角形片的面积。包含点的三角片的面积之和记为。 4
离散三角网格上法向量和法曲率也有一般的定义方法，这些几何估算的准确度对高斯曲率和平均曲率的准确度影响很大。对于离散三角网格曲面M=(V,F)，
任意点的法向量一般可定义为1-环三角形某些几何的加权和。最简单的加权方法1-环三角形的法向量平均值，定义如下：
Taubin给出面积加权和的定义：
对于三角网格上任意点，法曲率通常使用公式 得到两个主曲率（k1，k2）后，进而计算平均曲率（H=（k1+k2）/2）和高斯曲率(K=k1*k2)。 Chen和Schmitt通过欧拉公式，给出了一种估计算法。他们的主要思想是
在切平面上选择合适的坐标。由欧拉公式可得
是选择的坐标系与主方向的夹角，上式可重写为：
C1，C2，C3是常数，是切向量与第一坐标向量r1的夹角。然后，他们选择，通过最小二乘的方法估计常数C1，C2，C3，
其中，是与的夹角。 5
曲率k1，k2可以由常数C1，C2，C3，和以下关系求得 主方向可以由下列公式计算获得 其中，{r1，r2}是选择的坐标系。 仿真实现了三角网格上的曲率计算，便于实验的效果观察，比较了三角网格上和矩形网格上的最大主曲率计算结果，如下图显示：
三角网格与矩形网格上的曲率计算 6
2.2改进的Taubin方法 罗良峰应用重心加权和新的法曲率估计方法改进原始的Taubin方法，使用重心权重相比于使用面积加权的方式而言，更加充分的考虑到了三角网格形状多实验结果的影响。但是估算法向量和法曲率这两个几何量，仍然是改进后的Taubin方法对于三角网格中任意一点曲率计算的首要任务。采用重心加权和的方法估计法向量，利用任意一点的1-环三角面片的法向信息来估计曲率，得到局部曲率张量矩阵，此后对该矩阵进行Householder变换和Givens变换，计算出对应的特征矩阵和特征向量，最后通过主曲率与矩阵特征值的关系得出两个主曲率，进而得到平均曲率和高斯曲率。 将改进Taubin方法与原始Taubin方法和Meyer方法作了比较。对于隐式曲面和参数曲面，给出详细的误差分析；对于自由曲面，根据曲率确定三角网格顶点颜色，从视觉上分析曲率估算结果。 使用多组测试用例，不论是单位球面的测试用例、环面的测试用例还是自由三角网格曲面测试用例，测试结果均表明改进的Taubin方法无论是在稳定性上，还是在精确度上，较原始Taubin方法都有明显改善。 齐宝明采用面积质心夹角的三角网格顶点向量法和三角片质心权值来改进Taubin离散曲率方法，同样忽略了三角面片的形状。但是如果只使用质心或者面积夹角的估计方法，也不能反应三角面片形状的影响。所以作者提出了新的加权方法，面积质心夹角的三角网格顶点向量法。相比较重心加权和面积夹角加权，更加明确的反映了三角片形状的影响。 不论是哪一种离散网格曲率计算方式，都相较于未改进之前的方法有很大的提高，通过误差分析，很明显，同一物体的测量数据重建而得到的两个三角网格中，顶点密度不同，曲率计算亦不同。顶点密度越大，计算结果越精密。可以得出曲率误差是和点的密度以及此点的曲面弯曲程度是有密切关系的。误差分析，可以直接找出误差最大点，而不必计算每个点的曲率误差。对误差最大点进行分析，减小误差，提高算法精度。 7
3.发展趋势 未来的工作,除了进一步提高计算精度以及算法的稳定性和适应性外,在该领域里有许多重要方向值得研究探索。如网格光顺、网格简化、网格分割、特征识别等等，这些方向都是以离散网格上曲率估计为基础而展开的。在不同场合，计算曲率的方法效率会有所不同，并非某一个特定的方法会占有绝对优势，寻找一种更加快速、准确地对海量数据的离散曲面的曲率计算，将成为这个研究课题不断发展的源源动力。 8
参考文献： [1] Warren J, Schaefer S, Hirani A N, Desbrun M.Barycentric coordinates for convexsets. Technical report, Rice University, 2003. [2] Taubin G. A signal processing approach to fair surface design. In:Proc. of theSIGGRAPH' 95. New York: ACM Press, 1995. p.351-358. [3] Garland M, Heckbert P S. Surface simplification using quadric error metrics[A].In:Computer Graphics Proceedings, Annual Conference Series, ACM SIGGRAPH, Los Angeles,1997. p.209-216. [4] G.Lavoue, F.Dupont and A.Baskurt, Constant. Curvature Region Decomposition of3D-Meshes by a Mixed. Approach Vertex-Triangle. Journal of WSCG, 2004, vol. 12, no.2, p. 245-252. [5]Chen,X.,Sehmitt,F.,1992.IntrinsieSurfaeePropertiesfromSurfaeeTrian即lation. ProeeedingsoftheEuroPeanConfereneeonComPuterVersion,P.739一743. [6]Taubin,G.,1995.EstimatingtheTensorofCurvatureofaSurfaeefromaPolyhedral ApproximationProeeedingsoftheFifthInternationalConfereneeonComputerVision, P.902一907. [7]K.WatanabeandA.GBelyaev.Deteetionofsalieuteurvaturefeaturesonpolygonal surfaees.In:EUROGRAPHICS2001,volume20,2001. [8]MeyerM,DesbrunM,SehloderP,BarrAH.Diseretedifferential一geometryoperatorsfor triangulatedZ,anifolds.In:VisualizationandMathematies,Berlin,Ge伽any,2002, P.52一58. [8]罗良峰.离散三角网格上的法向量和曲率估计[ D].大连:大连理工大学.硕士学位论文, 2007 [9]齐宝明.三角网格离散曲率估计和Taubin方法改进[D].大连:大连理工大学硕士学位论文,2008 [10]熊芳,方逵,欧新良.离散曲面高斯曲率估算的研究[J].长沙大学学报, 2010,2VOL.24:53-55.