插值法综述一、插值法及其国内外研究进展1.插值法简介插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践，早在一千多年前，我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多，特别是在计算机广泛使用之后，由于航空、机械加工、自动控制等实际问题的需要，使插值法在实践和理论上都显得更为重要，并得到了空前的发展。

2.国内外研究进展● 插值法在预测地基沉降的应用● 插值法在不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法的应用 ● 拉格朗日插值法在地震动的模拟研究中的应用 ● 插值法在结构抗震可靠性分析中的应用● 插值法在应力集中应变分布规律实验分析中的应用 3.代表性文献● 不等时距GM(1%2c1)模型预测地基沉降研究 秦亚琼 武汉理工大学学报(交通科学与工程版) 2008.2● 不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法 牛志伟 岩土力学 2008.3 ● 基于拉格朗日插值法的地震动的模拟 白 可 山西建筑 2010.10 ● 响应表面法用于结构抗震可靠性分析 张文元 世界地震工程 1997 ● 小议应力集中应变分布规律的实验方法 查珑珑 淮海工学院学报（自然科学版）2004.6二、插值法的原理【原理】设有n+1个互不相同的节点（i x ，i y ） （i=0，1，2，...n ）则存在唯一的多项式： 2012()...(1)nn n L x a a x a x a x =++++使得()(0,1,2,...)(2)n j j L x y j n ==证明：构造方程组20102000201121112012......(3)...n n nn n nn n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩令：0011111nn n nn x x x x A x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦01n a a X a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦01n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 方程组的矩阵形式如下：(4)AX Y=由于110()0nn i j i j A x x -===-≠∏∏所以方程组（4）有唯一解。

从而2012()...n n n L x a a x a x a x =++++唯一存在。

三、常用插值法3.1 Lagrange 插值法3.1.1 Lagrange 插值法的一般提法给定))(,(i i x f x ),,1,0(n i =，多项式∑∏∑=≠==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==n i nij j j i j i ni i i n x x x x y x l y x 000)()(ϕ 称为)(x f 关于n x x x ,,,10 的n 次Lagrange 插值多项式。

3.1.2 Lagrange 插值多项式的构造 已知n+1个节点(,)(0,1,,j j x y j n =其中j x 互不相同，不妨设01),n a x x x b =<<<=要求形如：1110()n n n n n P x a x a x a x a --=++++ 的插值多项式。

若n 次多项式()(0,1,,)j l x j n =在n+1个节点01n x x x <<<上满足条件：1,;()(,0,1,,)0,.j k k j l x j k n k j =⎧==⎨≠⎩就称这n+1个n 次多项式01(),(),,()n l x l x l x 为节点01,,,n x x x 的n 次插值基函数。

3.1.3 Lagrange 插值法的程序设计 f[x_]:=Exp[x]A=Table[{x,f[x]},{x,0,0.8,0.2}]//Ng1=ListPlot[Table[A],Prolog->AbsolutePointSize[18]]; Interpolation[A,InterpolationOrder->3] g2=Plot[%[x],{x,0,0.8}] Show[g1,g2] N[%%%[0.12],20] N[%%%%[0.72],20] N[f[0.12],20] N[f[0.72],20]3.1.4 Lagrange 插值法典型例题及其解法5===，构造二次拉格朗日插值多项式。

（1）计算（2）估计误差并与实际误差相比较。

解（1）以插值点(27,3), (64,4), (125,5)代入插值公式，得222()()2000x x j x y l x y i i ix x i i j i j j iφ⎛⎫⎪-⎪==∑∑∏⎪-===⎪ ⎪≠⎝⎭=(64)(125)(27)(125)(27)(64)345(2764)(27125)(6427)(64125)(12527)(12564)x x x x x x ------⨯+⨯+⨯------(100)2(10064)(100125)(10027)(100125)(10027)(10064)345(2764)(27125)(6427)(64125)(12527)(12564)ϕ≈------=⨯+⨯+⨯------ 4.68782=(2) 由误差公式有(3)()()(27)(64)(125)3!f R x x x x ξ=---记810(3)(3)3()(),()27f x f x x f x -==在[27，125]上是单调递减函数。

(3)(3)5()(27) 5.6450310f x f-≤≈⨯(3)()(100)(10027)(10064)(100125)0.6181316f R ξ∴≤---≈2(100)0.04623ϕ=。

3.1.5 Lagrange 插值法误差估计(1)0()()()()(),(,)(1)!n nn n j j f R x f x L x x x a b n ξξ+==-=-∈+∏ (1)1()n n fM ξ++≤10()(1)!nn n j j M R x x x n +=⇒≤-+∏ 3.2 Newton 插值法3.1.1 Newton 插值法的一般提法],,,[)())((],,[))((],[)()()(1011021010000n n n x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x f x x x f x N----++--+-+=称为Newton 插值多项式。

3.1.2 Newton 插值多项式的构造()(-)(-)(-)(-)(-)0102010-1N x a a x x a x x x x L a x x L x x n n n =++++由插值条件()(0,1,,)N x f j n n j j == 当0x x =时,()000N x a f n ==.当1x x =时,1()()1010N x a a x x f n =+-=,推得 1000110f fa fa x x-==-. 当2x x =时，()()()()20120220212N x a a x x a x x x x f n =+-+--=20102010221f f f fa x x---=- 则引入记号：[][]10[][,]0110f x f x f f x f x x k k x x -==- [,][,]0201[,,]01221f x x f x x f x x x x x -=-2010201021f f f f x x x x x x-----=- 依次递推可得a k 的一般表达式：[,,...,][,,...]012011[,,...,]011f x x x x f x x x k k k f x x x k x xk k ---=--3.1.3 Newton 插值法的程序设计{x[0],x[1],x[2],x[3],x[4]}={10,11,12,13,14}; y[k_]:=Log[x[k]] Table[y[k],{k,0,4}]//N; MatrixForm[%]f[i_,j_]:=(y[j]-y[i])/(x[j]-x[i]) Table[f[i,i+1],{i,0,3}]//N; MatrixForm[%]f[i_,j_,k_]:=(f[j,k]-f[i,j])/(x[k]-x[i]) Table[f[i,i+1,i+2],{i,0,2}]//N; MatrixForm[%]f[i_,j_,k_,l_]:=(f[j,k,l]-f[i,j,k])/(x[l]-x[i]) Table[f[i,i+1,i+2,i+3],{i,0,1}]//N; MatrixForm[%]f[i_,j_,k_,l_,m_]:=(f[j,k,l,m]-f[i,j,k,l])/(x[m]-x[i]) Table[f[i,i+1,i+2,i+3,i+4],{i,0,0}]//N; MatrixForm[%]A={{y[0],y[1],y[2],y[3],y[4]},{0,f[0,1],f[1,2],f[2,3],f[3,4]}, {0,0,f[0,1,2],f[1,2,3],f[2,3,4]},{0,0,0,f[0,1,2,3],f[1,2,3,4]}, {0,0,0,0,f[0,1,2,3,4]}};Transpose[A]//N; MatrixForm[%] a[0]=y[0]; a[1]=f[0,1]; a[2]=f[0,1,2]; a[3]=f[0,1,2,3]; a[4]=f[0,1,2,3,4];N[x]=Sum[a[k]*Product[(x-x[m]),{m,0,k-1}],{k,0,4}]//N Expand[%]3.1.4 Newton 插值法典型例题及其解法 已知函数()f x 的函数表如下：求四次牛顿插值多项式，并由此求()596.0f 的近似值。

分析 表中给出六对数据，故最高可构造五次多项式。

但由于0.596接近于40.00=x ，因此可取前五对数据来做差商表。

解 构造差商表如下：故四次牛顿插值多项式为()()()()+--+-+=55.04.028000.04.011600.141075.04x x x x P ()()()()()⨯--+---55.04.003134.065.055.04.019733.0x x x x x()()80.065.0--x x于是()596.0f ≈()596.04P ＝0.631 95。

3.1.5 Newton 插值法误差估计(1)1(1)()()()()()(1)!n n t t t n h fR x f x N x th n n nn ξ++++=-+=+ 其中(,).0x x nξ∈四、插值法的比较Lagrange 插值是利用基函数方法构造的插值多项式，在理论上十分重要，但计算不太方便。