第六章 马尔科夫预测法
讲授内容:
第一节 马尔科夫链的基本概念 第二节 状态概率的估算 第三节 马尔科夫链在经济预测方面的应用 第四节 马尔科夫预测案例
思考与练习
第六章>>第一节
一、状态与状态概率
第六章>>第一节
将事物在时间t所处的第i种状态记为 Si ，假 设事物有n种不同的状态，则这n种不同的状 态所构成的状态空间记为S， S {S1, S2,, Sn} 。
p11(k ) p12 (k ) p1n (k )
( pij (k ))nn
p21(k )
p22 (k )
p2n
(k )
P(k )
pn1(k ) pn2 (k ) pnn (k )
二、状态转移、转移概率及状态 第六章>>第一节 转移矩阵
n
N ni
。用频率代替概率可
得：
i 1
i
P{X
Si}
ni N
i=1,2,…,n
其中0≤ i
≤1，且
n
i
1。
i 1
i 可以作为现象X处于状态 Si 的状态概率估计。故 而状态概率向量为 (1, 2,, n ) 。
二、转移概率估计
第六章>>第二节
如果被研究对象X处于 Si ，下一次转入状态 S j 共发
一、市场占有率预测
第六章>>第三节
具体步骤如下：
1.进行市场调查
（1）调查目前的市场占有情况，即调查所有顾客在目前 消费该类商品时购买各种商品的比重，获得初始分布
(0) (1(0), 2 (0),, n (0))
。
（2）调查顾客在选择n种品牌的流动情况，先获得转移
频率矩阵，从而由频率估算概率，获得转移概率矩阵。
被研究对象在t时间处于状态空间中的某一 状态，把其处于各种状态的可能性称为状态 概率。记状态 Si 的概率为 i(t) ，即：
i (t) p{X t Si}
t=1,2,…;i=1,2,…,n（6.1）
一、状态与状态概率
第六章>>第一节
用 (k) 表示被研究对象第k期的状态概率空 间，即：
(k ) (1(k ), 2 (k ),, n (k ))
马尔科夫预测法只能用来进行短期预测，若 用马尔科夫预测法进行长期预测则应及时修 正异步转移概率矩阵。
四、标准概率矩阵与平衡向量 第六章>>第一节
对于概率矩阵，若转移是随机的，即存在正 整数k使得矩阵 pk ( pij (k))nn ，那么称概率 矩阵P为标准概率矩阵。
若矩阵P是一个标准概率矩阵，则必存在非
二、状态转移、转移概率及状态 第六章>>第一节 转移矩阵
系统在时间t=m时处于状态 Si ，在下一时间t= m+1时处于状态 S j 的概率记为 pij ，则称
pij 为一次转移概率。显然有：
pij P{S j | Si} P{X m1 S j | X m Si}
k次转移概率是指，系统在时间t=m时处于状
如果这种转移是随机的，则k次转移概率矩阵 等于一次转移矩阵的k次方，即：
p11 p12 p1n k
P(k ) ( pij (k ))nn
P(1)k
p21
p22
p2n
pn1 pn2 pnn
被研究对象的状态转移概率矩阵完全地描述了 被研究对象的变化过程。
零向量 (1, 2 ,, n )
，使得 P 。
其中 ≥0， n
i
i 1
i 1
， 为平衡向量，也
叫作终极状态概率。
第六章>>第二节
一、状态概率估计
第六章>>第二节
被研究对象n} 设在N次观察中，被研究对象X处于状
态 Si共有ni 次，显然
态 Si ，经过k步转移之后，在时间t=m+k时处
于状态 S j 的概率，记为 pij (k) 。
pij (k ) P{S j | Si} P{X mk S j | X m Si}
,k=1,2,…
二、状态转移、转移概率及状态 第六章>>第一节 转移矩阵
由概率的性质可知：0≤ pij ≤1 n)，n pij 1 (i=1,2,…,n)。
生了 nij 次，显然
n
ni nij
(i=1,2,…,n)，那么用
频率代替概率可得： i1
pij
P( X
Sj
|
X
Si}
nij ni
n
其中0≤ pij ≤1，且 pij 1 i 1 象的一步转移概率估计值。
i,j=1,2,…,n 。则 pij 就可以作为现
第六章>>第三节
一、市场占有率预测
j 1
2.状态转移概率矩阵
(i,j=1,2,…,
系统一次转移概率的集合组成的矩阵被称为一 次转移概率矩阵，记为：
p11 p12 p1n
(
pij
)nn
p21
p22
p2n
P
pn1 pn2 pnn
二、状态转移、转移概率及状态 第六章>>第一节 转移矩阵
系统k次转移概率的集合组成的矩阵被称为k次转 移概率矩阵，记为P(k)，即
第六章>>第三节
市场占有率是指在某一地区某企业产品销售量在该 地区同类产品的市场销售总量中所占的份额。市场 占有率是公司销售率和盈利率的一个重要控制比率。 在激烈的市场竞争中，对现有和未来的市场占有率 的估计关系到企业经营的成败。假如我们对市场情 况不太清楚，如何对它进行预测。马尔科夫方法为
市场占有率预测提供了较为可靠的工具。
三、马尔科夫过程
第六章>>第一节
某现象在时间m+1时处于状态 S j 的概率仅与该 现象在时间m时所处的状态 Si 有关，而与时间 m前所处何种状态无关的特性称为无后效性。 这种特性最早由俄国数学家马尔科夫研究发 现，故又称为马尔科夫性。具有这种特性的 时间转移和状态转移的过程就称为马尔科夫 过程。
n
其中， i (k) 1, j (k) 0 j 1
k=1,2,…（6.2） 。
二、状态转移、转移概率及状态 第六章>>第一节 转移矩阵
1.状态转移及其转移概率
系统由一个时期所处的状态 Si 到未来某时期 所处的可能状态 Si 的转变被称为状态转移， 发生这种状态转移的可能性被称为转移概率。 状态转移可分为一次转移和多次转移。所谓 一次转移是指系统在相邻两个时期的状态转 移，多次转移是指系统经过多个时期的状态 转移。