(3)30
试计算： 1、初始状态概率。 2、该地区农业收成变化的一步和二步转移
概率矩阵。 3、2006-2010年可能出现的各种状态的概
率 4、终极状态的概率
(3)31
1、初始状态概率估算 上表中40个记录，有15个处于状态S1，14
个处于状态S2,11个处于状态S3 初始状态概率为：
(3)32
若一步转移概率不发生变化，假设稳定的市场占 有率情况为
S (x1, x2 , x3 )
(3)16
(3)17
所以，市场占有率的平衡状态是；A、B、C三 个厂的市场占有率分别是50%、25%和25%。
马尔可夫过程的平衡状态仅与 转移概率有关，与初始状态无关。
(3)18
• 一.市场占有率预测 • 市场竞争中，市场占有率问题具有马尔
p11(k)
P(k
)


p21
(k
)


pn1
(k
)
p12 (k) p22 (k)
pn2 (k)
p1n (k) p2n (k)
pnn (k)
0 pij (k) 1
n
pij (k) 1
j 1
• 如果1次转移概率矩阵不发生变化，有
Pk P(1)k
(3)24
问题
1、对三个厂家次年1-6月份的市场占有率 进行预测。
2、试求当市场处于均衡状态时，各厂商的 市场占有率是多少。
(3)25
1、先求出12月份，厂商1、2、3的市场占 有率情况，得到初始分布为
2、通过转移频数矩阵计算转移概率矩阵
(3)26
假设P是稳定的，得到： 1月份各厂家的市场占有率，即当k=1时，
(3)39
公司
A B C 周期 1 的 顾客数
周期 0 的 顾客数
5000 3000 2000
——
周期 1 的供应公司
A
B
C
3500 500 1000
300 2400 300
100 100 1800
3900 3000 3100
(3)40
公司
A B C 周期 1 的 顾客数
周期 0 的 顾客数
5000 3000 2000
(3)20
1.市场调查
• （1）调查目前的市场占有情况，即调查 所有顾客在目前消费该类商品时购买各 种商品的比重，获得初始分布
（2）调查顾客在选择n种品牌的流动情况，先获 得转移频率矩阵，从而由频率估算概率，获得转 移概率矩阵
(3)21
2.建立数学模型
• 通过一步转移概率矩阵P，测算出第k步 转移概率矩阵P(k)
B 0.1 0.8 0.1

C
0.05
0.05
0.9
(0) (0.5 0.3 0.2)
(3)42
未来各期的市场占有率：
1 0 P
0.7 0.1 0.2


0.5,
0.3,
0.2



0.1
0.8
0.1
0.05 0.05 0.9
0.39,0.3,0.31
3.市场预测 （1）预测第k期的市场占有率
(3)22
• （3）预测稳定状态下的市场占有率，即 顾客的流动对市场占有率没有影响，即 顾客流动过程中，各种品牌在顾客流动 的过程中争取到的顾客和失去的顾客相 互抵消。
(3)23
例6-2
某地区销售的洗发水主要有三个厂家提 供，分别用1,2,3来表示。在12月对2000 名消费者进行调查，购买厂家1、厂家2、 厂家3的产品的消费者人数分别为 1400,200和400。同时得到用户的转移频 数矩阵为：
科夫链的特征，因此，可以用马尔科夫 预测法来对市场占有率的发展变化进行 预测。
(3)19
• 假设顾客在市场上对一类商品有n种选择， 它们是n个不同品牌，分别记为
• 顾客在本期选择了 品牌的产品，在下 一期有可能转移购买其他同类产品的品 牌，这一过程就构成了马尔科夫链，可 用马尔科夫原理对这n种品牌的市场占有 率进行预测。
Si
(3)5
二.状态转移、转移概率及状态转移矩阵
• 2.状态转移概率矩阵 一次转移概率矩阵P
p11 p12 p1n
P


p21
p22
p2
n



pn1
pn2
pnn

0 pij 1
n
pij 1
j 1
(3)6
• k次转移概率矩阵
基期 t=0 时的状态概率称为初始概率，初始概率
向量为 (0) (1(0), 2 (0), n (0))
，多次转移概率
矩阵为 Pk Pk，预测稳定下来的平衡向量。
当马尔可夫过程达到平衡状态时，上一期的状态
经过转移之后其状态应该保持不变。先假设平衡
状态为 (1,2,L n) 则 P
• 这个稳定下来的值我们称为平衡向量，也叫终极状 态概率。我们会在后面补充。
(3)10
6.2 状态概率的估算
• 一.状态概率估计
ni
(3)11
6.2 状态概率的估算
• 二.转移概率估计
• 要注意的是：计算一步概率时，最后一期不参加计算，因为它将 转移到哪个状态还不确定。
(3)12
补充内容（平衡向量求解）
（2）状态转移概率
状态
状态 下一步状态
S1
S2
S3
当
前
S1
3
7
5
状
S2
7
2
4
态
S3
4
5
2
(3)33
• 由上表，可以得到一步状态转移概率矩 阵为：
(3)34
• 二步转移概率矩阵为：
(3)35
将2005年的农业收成记为 ，因为2005年
是平收状态，因此
，这是预
测2006-2010年状态概率的初始向量。若
公司
A B C
A
3500/5000=0.7 300/3000=0.1 100/2000=0.05
B
500/5000=0.1 2400/3000=0.8 100/2000=0.05
C
1000/5000=0.2 300/3000=0.1 1800/2000=0.950
A B C
P A 0.7 0.1 0.2
(3)43
未来各期的市场占有率：
1 0 P
0.7 0.1 0.2


0.5,
0.3,
0.2


0.1
0.8
0.1
0.05 0.05 0.9
0.39,0.3,0.31
(2) (1)P (0.319,0.294,0.387)
2月份各厂家的市场占有率，即当k=2时，
(3)27
2、由于概率矩阵P是标准概率矩阵，因此 存在唯一的市场均衡点。因此存在 使得
因此，可以求得市场均衡时，各厂商的 占有率
(3)28
6.4马儿科夫预测案例
考虑某地区农业收成变化的三个状态， 即“丰收”，“平收”，“欠收”。记 S1为“丰收”状态，S2为“平收”状态， S3为“欠收”状态。表6-3给出了该地区 1966-2005年期间农业收成的状态变化情 况。
马尔可夫链在经济预测方面的应 用案例
例4 公司A、B、C产品销售额的市场占有率分别 为50%，30%，20%。由于C公司实行了改善销售与服务 方针的经营管理决策，使其产品销售额逐期稳定上升， 而A公司却下降。通过市场调查发现三个公司间的顾客 流动情况如表所示。其中产品销售周期是季度。问题： 按照目前的趋势发展下去，A公司的产品销售额或客户 转移的影响将严重到何种程度？更全面的，三个公司 的产品销售额的占有率将如何变化？
• 马尔可夫过程的时间可以是无限连续的，在实际经济 问题中，时间取离散值，在某一时间的状态也是离散 可列的，我们称这样的马尔可夫过程为马尔可夫链。 它表示事物前一时期的状态转移到现在的状态，由现 在的状态转移为将来的状态，一环接一环，像一根链 条。
(3)9
四、标准概率矩阵与平衡向量
• 如果马尔可夫过程的一步转移概率矩阵不发生变化， 则无论基期处于什么样的状态，经过多期转移后， 状态的概率趋于一个和基期无关的并且稳定下来的 值，这称为马尔可夫过程的稳定性或遍历性。
(3)7
例 ：S1—畅销 S2—滞销 k=1(一步转移） S1 S1 P11=0.7 S1 S2 P12=0.3 S2 S1 P21=0.4 S2 S2 P22=0.6
P(1)

0.7 0.4
0.3 0.6
K=2(二步转移）
S1 S2 0.7×0.7+0.3 ×0.4=0.61
0.7
s1
0.61 P(2) 0.52
0.7
s1
s1
0.3 s2 0.4
0.39 0.48
(3)8
三.马尔科夫过程
• 某现象在时间m+1时所处的状态Sj的概率仅仅与该现象 在时间m所处的状态Si有关，而与时间m前所处何种状 态无关的特性成为无后效性，也称为马尔科夫性，具 有这种特性的时间转移和状态转移过程称为马尔科夫 过程。
——
周期 1 的供应公司
A
B
C
3500 500 1000
300 2400 300
100 100 1800
3900 3000 3100
初始分布为： (0) (0.5 0.3 0.2)
公司
A
A
3500/5000=0.7
B
300/3000=0.1
C