则 Z(t),tT是一马尔科夫链。
• 所谓“成熟”的股票市场是指这样的市场： 未来一天指数的涨跌只与未来一天将要公 布的信息有关，同时对当前指数的涨跌进 行必要的修正。以前股票市场的涨跌对未 来一天的涨跌不产生任何影响。
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6.1.3 一步转移概率矩阵
• 在例6.5中，Z t 的状态空间为S1,1。在第t
• 其中，p1,1(2)表示在第 t个交易日指数下 跌的条件下，第 t 2个交易日指数继续 下跌的概率。
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• 这些条件概率 p 1 , 1 (2 )p , 1 ,1 (2 )p ,1 , 1 (2 )p ,1 ,1 (2 ) 称为马尔科夫链 Z(t),tT的两步转移概率； 称由它们构成的矩阵
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6.1 马尔科夫链及转移概率
6.1.1 随机过程(Stochasitc Process)
在自然界和人类社会中，事物的变化过程 可分为两类：一类是确定性变化过程；另 一类是不确定性变化过程。
确定性变化过程是指事物的变化是由时间 唯一确定的，或者说，对给定的时间，人 们事先能确切地知道事物变化的结果。因 此，变化过程可用时间的函数来描述。
马尔科夫链是指具有无后效性的时间序列。
所谓无后效性是指序列将来处于什么状态只 与它现在所处的状态有关，而与它过去处于 什么状态无关。
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• 例6.5 考察一个“成熟”股票市场指数的涨 跌情况。记
Zt 1,1，第 第tt个 个交 交易 易日 日下 不t跌 跌 T 0 ,1 ,2 ,
是一随机变量，因此 Z (t)t, 0 , 是一随
机过程。
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6.1.2 马尔科夫链
离散随机序列也称时间序列。时间参数空间
通常取 T0,1 ,2,3 , ，Z (t)习惯上记为 Z t 。Z t
所有可能的取值构成的集合称为序列的状态 空间，记为 S。不妨设 S是一个整数集合。
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不确定性变化过程是指对给定的时间， 事物变化的结果不止一个，事先人们不 能肯定哪个结果一定发生，即事物的变 化具有随机性。这样的变化过程称为随 机过程。
随机过程是一连串随机事件动态关系的 定量描述。
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例6.1 设Z (t)是北京市未来一天 t时刻的温度。
p 1 , 1 ( 2 ) P Z t 2 1 Z t 1 ;p 1 ,1 ( 2 ) P Z t 2 1 Z t 1 p 1 , 1 ( 2 ) P Z t 2 1 Z t 1 ;p 1 ,1 ( 2 ) P Z t 2 1 Z t 1
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•
由一步转移概率构成的矩阵
P
p1,1 p1,1
p1,1 p1,1
• 称为马尔科夫链的一步转移概率矩阵。
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• 定义6.1 设马尔科夫链 Z(t),tT的状态空间
为S1 ,2 , ,n ，用 p ij表示已知 t时刻Z t 处于状
态
i的条件下， t
p 1 , 1 P Z t 1 1 Z t 1 ;p 1 ,1 P Z t 1 1 Z t 1
• 其中，p1,1表示在第 t个交易日指数下跌的条件 下，第 t 1 个交易日指数继续下跌的概率。
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• 这些条件概率称为马尔科夫链的一步转 移概率。一步转移概率通常与时间 t有关。 如果一步转移概率与 t无关，我们称马尔 科夫链是平稳的。以后提到的马尔科夫 链都是指平稳的马尔科夫链。
显然，对任意指定的时间 t0,24，事先无
法确定 Z (t)的取值，即 Z (t)是一随机变量，
因此 Z(t)t, 0,24 是一随机过程。
例6.2 设Z (t)是某市电话局在未来时间 t内收
到的呼叫次数，t0,。由于对任意给定
的时间 t，事先无法确定Z (t) 的取值，即Z (t)
P(2)pp1,1,11((22))
p1,1(2) p1,1(2)
第6章 马尔科夫预测法
概述
马尔科夫(A. A. Markov)是俄国伟大的数 学家。
马尔科夫链是人类历史上第一个从理论 上提出并加以研究的随机过程模型。
马尔科夫预测法是应用马尔科夫链的基 本原理和基本方法研究分析时间序列的 变化规律，并预测其未来变化趋势的一 种方法。这种方法在经济预测与经营决 策等方面有着广泛的应用。
是已知
Zt
i的条件下
Z
t

的条件分布，
1
因此第 i行元素满足如下两个条件：
n
pij0, j1,2, ,n;
pij 1
j 1
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6.1.4 k步转移概率矩阵
• 例6.5中，在第 t个交易日指数不跌的条 件下，第t 2个交易日指数可能不跌， 也可能下跌。类似地，记
1时刻
Z
处于状态
t 1
j的条件
概率，即 p i jP Z t 1 j Z t i( i ,j 1 , 2 , , n ) ，
称 pij(i,j1,2, ,n)为马尔科夫链的一步转移
概率，并称 pij(i,j1,2, ,n)构成的n阶方阵
p11 p12p1n
P (pij)nn

p21
pn1
p22p2n
pn2
pnn
• 为一步状态转移概率矩阵。
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• 一步转移概率矩阵 P(pij)nn 描述了 t时 刻系统内各状态到 t 1时刻系统内各状
态的变化规律性。
• 一步转移概率矩阵P的第 i行元素实际上
个交易日指数不跌的条件下，第 t 1个交易日 指数可能不跌，也可能下跌。同样，在第 t个 交易日指数下跌的条件下，第 t 1个交易日指 数可能不跌，也可能下跌。记
p 1 , 1 P Z t 1 1 Z t 1 ;p 1 ,1 P Z t 1 1 Z t 1