6.3 函数的最值及应用
一．闭区间上连续函数的最值 定理 闭区间上的连续函数必有最大值与最小值. 求连续函数 y f (x)在闭区间[a,b]上最值的步骤如下： （1）求 f (x)； （2）求 y f (x)的驻点与不可导点； （3）求出函数 y f (x)在驻点、不可导点和区间端点的函
数值，并对其进行比较，其中最大者就是函数的最大值，最小者 就是函数的最小值.
则有
g(x)
x2
20x x
400 ， 其中
x
(0,)，
g(x) 1 400 ， x2
令 g(x) 0，得 x 20，
由实际可知，当产量 x 20吨时，该公司每吨产品的平均成本最低， 每吨产品的最低平均成本为 g(20) 202 20 20 400 60（千元）.
20
例 6 如图所示，公司要用每平方米为0.4万元的不锈钢板建造一个
（2）储油罐的表面积 s 2r 2 2rh 2r 2 2r V r 2 2r 2 500 （其中 r 0），
r s 4r 500 ,
r2 令 s 0得r 5,
当r 5时h 10，由实际可知，此时储油罐所用材料最省，
储油罐所用材料的费用为0.4(2 52 2 5 10) 188.4（万元）.
解（1）点 D 选在 AB 的中点，则
铁路长 BD 50，公路长CD 202 502 10 29
若设铁路每吨公里的运费为3k ，则公路每吨公里的运费为5k ，
于是，每吨货物从工厂运到销售地的运费为：
50 3k 10 29 5k 419.25k . (2) 设 D点选在距离 A点 x公里处， 则铁路长 BD 100 x，公路长CD 400 x2 ，
容积V 250 立方米的圆柱形储油罐，(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3.14)
（1）若储油罐的底面半径为10 米，求储油罐的材料费用，
（2）要怎样设计，建造储油罐所需材料费最少，最少是多少？
解 用r表示储油罐的底面半径，h表示高，s表示表面积.
（1）当r 10时，由圆柱体的体积V r 2h得其高 h 2.5米， 储油罐的表面积 s 2r 2 2rh 250 ， 储油罐的材料费用为0.4 250 314（万元）.
2 答案 最大值为1，最小值为 3 .
2
例 2 求函数 f (x) 1 sin3 x sin 2 x 3的最值. 3
解 令sin x t ，可得 g (t) 1 t3 t 2 3，其中 t [1,1]， 3
g(t) t 2 2t ，
令 g(t) 0得t 0与t 2（舍去），
由于 x 1是函数唯一的一个极小点，所以函数的最小值为 f (1) 3，
函数无最大值.
例 5 一公司生产某产品 x（单位：吨）的总成本c（单位：千元） 为c x2 20x 400，该公司的产量为多少吨时，每吨产品的平均成
本最低？最低是多少？
解 用 g(x)表示产量为 x吨时每吨产品的平均成本，
因此，求开区间内只有一个极值点的连续函数的最值就是求函 数的极值.
例如二次函数的极大值就是其最大值，极小值就是其最小值.
例 4 求函数 y x4 4x的最值. 解 函数的定义域为(,)，
y 4x3 4
令 y 0得 x 1,
当 x 1时 y 0，故函数在(,1)内单调递减， 当 x 1时 y 0，故函数在(1,)内单调递增， x 1是函数的一个极小点，极小值为 f (1) 3，
二. 开区间内只有一个极值点的连续函数的最值
设 x0是连续函数 y f (x)在区间(a,b)内唯一的一个极大点，若
x0是一个极大点，则函数只有最大值而没有最小值，若 x0是一个极
小点，则函数只有最小值而没有最大值.
若连续函数 y f (x)在区间(a,b)内只有一个极值点，则该极值
点所对应的极值就是函数的最值.
由于 g (0) 3， g (1) 5 ， g (1) 7 ，
3
3
故函数 g (t)在闭区间[1,1]上的最大值为3，最小值为 5 ， 3
于是，函数 f (x)的最大值为3，最小值为 5. 3
例 3 如下图所示，
A
D
B
C
铁路线 AB 段的距离为 100 公里,工厂 C 距离 A 处为 20 公里,工 厂为了将产品运输到销售地 B 处，需要在铁路线 AB 上选定一点 D 修 建一个货物转运站和一条工厂到转运站公路.若每吨公里货运铁路 与公路的运费之比为 3:5.(1)若点 D 选在 AB 的中点，求每吨货物从 工厂 C 到销售地 B 的运费,（2）为了使每吨货物从工厂 C 到销售地 B 的总运费最省,问 D 应选在何处？
若设铁路每吨公里的运费为 3k ，则公路每吨公里的运费为5k ，
用 y表示每吨货物从工厂运到销售地的运费，
则有 y 3k (100 x) 5k 400 x2 ，其中 x [0,100]， y 3k 5k ， 400 x2
令 y 0，得 x 15， y x15 380k , y x0 400k ， y x100 50 104k ， 由此可知，当 D 点选在距离 A点15公里时，工厂每吨货物的运费最低.
例 1 求函数 f (x) x4 8x2 6在闭区间[1,3]上的最值.
解 因为初等函数 f (x)在[1,3]上有意义，所以函数 f (x)在[1,3]
上是连续的，
f (x) 4 x3 16 x
令 f ( x) 0 得 x1 2 （舍去）， x2 0 ， x3 2
f (0) 6 ， f (2) 10， f (1) 1， f (3) 15 比较可得，函数 f ( x)在[1,3]的最大值为 f (3) 15，最小值为 f (2) 10. 练习 求函数 f ( x) x 3 3 ( x 1)2 在闭区间[0,2]上的最值.