怎样在微分中值定理中构造辅助函数成了解这类题的主要关键，下面
介绍怎样构造的方法，还有附带几个经典例题，希望对广大高数考生
有所帮助。

先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证在（a，b）中存在
ε使f’(ε)=f(ε)

证明过程： f’(ε)=f(ε), 所以f’(x)=f(x), 让f(x)=y,
所以 ydxdy,即dxdyy1，所以对两边简单积分，即dxdyy11，所以
解出来（真的是不定积分的话后面还要加个常数C，但这只是我的经
验方法，所以不加）就是xyln，也就是xey，这里就到了最关键
的一步，要使等式一边为1！，所以把xe除下来，就是1xey，所以左
边就是构造函数，也就是xey，而y就是f(x)，所以构造函数就是
xexf
)(

，你用罗尔定理带进去看是不是。再给大家举几个例子。

二、已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证：
在（a，b）中存在ε使f’(ε)+2εf(ε)=0
证：一样的，xydxdy2，把x,y移到两边，就是xdxdyy21，所以积
分出来就是2lnxy，注意y一定要单独出来，不能带ln，所以就是
y
2
xe
，移出1就是,12xye所以构造函数就是2)(xexf，再用罗尔定理

就出来了。
三、已知f(x)连续，且f(a)=f(-a),求证在（-a，a）中存在ε使f’(ε) ε
+2f(ε)=0.

证：02yxdxdy，移项就是dxxdyy121，所以xyln2ln，所以就是
2
1
x
y
，移项就是12xy，所以构造的函数就是2)(xxf，再用罗尔定

理就可以了。
注：这种方法不是万能的，

结合下面例题尝试做下。
微分中值定理的证明题
1. 若()fx在[,]ab上连续，在(,)ab上可导，()()0fafb，证明：
R
，(,)ab使得：()()0ff。
证：构造函数()()xFxfxe，则()Fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，
且()()0FaFb，由罗尔中值定理知：,)ab（，使()0F
即：[()()]0ffe，而0e，故()()0ff。

经典题型二：
思路分析：

实战分析：
设,0ab，证明：(,)ab，使得(1)()baaebeeab。

证：将上等式变形得：1111111111(1)()baeeebaba
作辅助函数1()xfxxe，则()fx在11[,]ba上连续，在11(,)ba内可导，
由拉格朗日定理得：
11
()()1()11ffbafba






1


11

(,)ba
，

即 11111(1)11baeebaeba 111(,)ba ，
即：ae(1)(,)bebeeab (,)ab。

经典题型三
设()fx在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f，有2()()Fxxfx证明：在(0,1) 内
至少存在一点，使得：()0F。
证：显然()Fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，又(0)(1)0FF，故由罗尔
定理知：0(0,1)x，使得0()0Fx
又2()2()()Fxxfxxfx，故(0)0F， 于是()Fx在0[0]x，上满足罗尔
定理条件，故存在0(0,)x， 使得：()0F，而0(0,)x(0,1)，即证