解：
ssA
5 i1
1 m
10 l1
2 xil
1 510
5 i1
10 l1
2 xil
22.865
fA 51 4
ssE
5 i1
10 l1
x
2 il
1 510
5 i1
10 xil 2 l1
53.055
fE 510 5 45
s 2A
ssA fA
22.865 4
5.71
1 m
m L1
xiL
2
fE km k
m
有km个数据，但存在 k个约束条件，即有 k个 xiL xi 0 L1
3.总离差平方和ssT、自由度fT
• 它反映了全部数据的波动程度。
k m
2
ssT
xiL x
i1 L1
k m
2 km
2
xiL xi
xi x
i1 L1
试验次数
1
2
34
水平
A1
38
36
35 31
A2
20
24
26 30
A3
21
22
31 34
样本 X1 X2
试验数据 X11，X12，..X1L…X1m X21,X22,…X2L,…X2m
.
Xi
Xi1,Xi2,…XiL…Xim
.
.Xk
Xk1,Xk2,…XkL,…Xkm
样本平均值
x1
x2
xi
xk
m
xiL
L1
因素A第i个水平平均值为
xi
1 m
m
xiL
L1
1.因素A离差平方和 ssA、自由度fA
是各水平平均值与总平均值之差。它反映了因素A 的不同水平波动程度。也称为“组间变差”。
k m
2
ssA
xi x
i1 L1
k
2
m xi x
fA k 1
i 1
k 1 m 2 1 k m 2
H0： σ21 =σ22 统计量
F s12
s
2 2
服从自 由 度为（ n 1 -1 ， n 2 -1 ） 的 F 分布。
给定显著性水平а，查临界值F а
若F1-а≤F ≤ F а 则接受H0
若F≥ F а 则不服从F分布，拒绝H0： 表明σ21 ≥σ22
4. 单因素试验方差分析步骤
(1)计算因素A离差平方和 ssA、自由度 fA
)
~
t (n1
n2
2)
假设H0：µ1=µ2有
t x1 x2
sw
11 n1 n2
~ t(n1 n2 2)
五种药剂均值间差值
x2
x3 x4
x5
75.25 75.80 77.10 75.30
x1
75.60 0.35 0.20 1.50 0.30
x2
75.25
0.55 1.85 0.05
x3
75.80
i1 L1
ssE ssA
fT km 1 fT fE fA km k k 1
ssT证明
k m
2
ssT
xiL x
i1 L1
k m
2
(xiL xi ) (xi x)
i1 L1
k m
2
k
m
km
2
xiL xi 2 xi x xil xi
浮选试验结果表
药
重复试验数据xiL
剂
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
种
类
A1 76.50 75.00 76.00 74.00 75.00 77.00 74.50 76.00 76.60 76.50
A2 73.55 75.00 76.54 74.05 76.02 76.51 76.54 75.10 74.02 76.08
单因素试验的方差分析
单因素多水平重复试验结果表
因素水
平
1
重复试验数据
2
---L--- m
xi
A1
x11
x12
x1L
x1m
A2
x21
x22
x2L
x2m
.
Ai
xi1
xi2
xiL
xim
Ak
xk1
xk2
xkL
xkm
单因素试验三种离差平方和计算
试验数据总个数为：n=km
试验数据总均值为
x
1 km
k i 1
若F≥ F а 则不服从F分布，拒绝H0
定理 设X（x1,x2,…，xi,…xn1）与Y（y1,y2,…yi…yn2） 分别是具有相同方差的两正态母体N（µ1，,σ2），N （ µ2，,σ2 ）的样本，且（x1,x2,…xi…xn1）与 （y1,y2,…yi,…yn2）是两个相互独立的随机变量。
1 n1
0.30 0.50
x4
77.10
1.80
s 2A
ssA fA
22.865 4
5.71
sE2
ssE fE
53.053 45
1.179
为了进一步查明差异存在于哪几种药剂之间，可用成
组数据比较的t检验法。此时，试验误差的标准差
sE=1．086。取α＝5％，查自由度n-k＝45时，附表 得tα/2＝2.0141≈2.0。故当任意两组平均值又之间的 差值超过下列界限LSD时，即认为有显著性差异。
1 n2
x n1
i0 xi , y n2
i1
yi
分别是这两个样本的均值。
s12
1 n1 1
n1 i 1
( xi
x)2
s22
1 n2 1
n2 i 1
( yi
y)2
其中：sw2
s12 (n1 -1) s22 (n2 (n1 n2 - 2)
-1)
则有：( x
y) sw
(1 2
11 n1 n2
故因素A水平改变效果明显
单因素方差分析表
离差来源 离差平 自由 方差 统计量 置信界 统计
方和 度
FA
Fα
推断
因素名称 试验误差 总离差
实例分析
为了考查五种煤用浮选药剂的性能，在实验 室进行了小型浮选试验，如在原矿性质和 精矿灰分相同(10％)的情况下，各次试验 所得精煤产率见表。要求利用方差分析来 检验五种浮选药剂的性能有无差别，并对 它们的优劣作出判断。
α=0.05
单因素表格计算
p
1 km
k i1
m l1
xil 2
Q
5 i1
1 m
m l1
xil 2
km
R
x
2 il
i1 l1
母体
样本
X1 X11，X12，..X1L…X1m
X2 X21,X22,…X2L,…X2m
样本平均值 x1
x2
.
Xi Xi1,Xi2,…XiL…Xim
xi x
i1 L1
i 1
L 1
i1 L1
k m
2 km
2
xiL xi
xi x
i1 L1
i1 L1
两总体方差的统计检验——— F 检验法
若从两个正态总体分别随机抽取两个样本，
第一个样本的容量为 n 1 ， 方差为 s21 第二个 样本的容量为 n 2 ， 方差为 s22 .
当两个正态总体的方差 σ21 和 σ22 相等时，即
个样本， 第一个样本的容量为 n 1 ， 方差为 s21 第二个样本的容量为 n 2 ， 方差为 s22 .
当两个正态总体的方差 σ21 和 σ22 相等时，即
H0： σ21 =σ22
服从自
由
统计量 度为（ n 1 -1
，
F
n 2 -1 ）
s12 s2
的 F2分布。
给定显著性水平а，查临界值F а
若F1-а≤F ≤ F а 则接受H0
（2）计算试验误 差离差平方和 ssE、自由度 fE
（3）计算因素A方差和试验误差方差
因素A方差：s
2 A
ssA fA
试验误差方差 ：
s
2 E
ssE fE
单因素试验方差分析步骤
（4）计算统计量 FA
FA
s
2 A
s 2E
（5）给定显著性水平 α值，查临界值 FαfA ,fE
(6)统计推断
若FA F fA ,fE 则表明sA2 sE2
i 1
m
l 1
xiL
km
i 1
L1
xiL
k
有k个xi个数据，有一个 m xi x 0 i 1
2 试验误差ssE、自由度fE
• 是试验数据与本水平平均值之差。反映了随机误 差波动程度。也称为“组内变差”。
k m
2
ssE
xil xi
i1 l 1
k i 1
m
xi2L
L1
k i 1
xi
.
.Xk Xk1,Xk2,…XkL,…Xkm
xk
设有k个正态母体Xi，i=1,2，..i…k.，Xi的分布为N （µi，σ2i），假定k个母体方差相等， σ1=σ2=…σi..=σk，假设 µ1=µ2=…µk，现独立地从各母体中 取出一个样本
两总体方差的统计检验——— F 检验法
若有两个正态母体，分别从两母体随机抽取两
LSD t0.05 SE 2
2 21.086 n
2 0.97 10
从表中可以看出，只有4号比其它四种显著的大，其 无明显的差别，故推荐采用第四号药剂。