数学系 数学与应用数学专业 09级年论文（设计）
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数列中所涉及的数学思想及能力

摘要：利用等差数列和等比数列的通项式及性质来讨论数列中所涉及
到得一些数学思想及能力。
Abstract: The use of arithmetic series and geometric series of general term to
discuss the type and nature of the series are involved in mathematical thinking
and ability.
关键词：类比；数形结合；转化；变形
数列是中学数学里的难点之一，也是在高考当中考生失分最严重的试
题.因此，我利用等差数列和等比数列的通项式及性质来讨论数列中所涉
及到的一些数学思想及能力，对我们的初学者有所帮助.
1.类比的思想
等差数列 等比数列
定
义 daann1 2n且d为常数
01q

a

a

n
n

2n
且q为常数
通
项
dknaakn)(

knknqaa



性质 若stnm stnmaaaa 若stnm
stnm
aaaa

观察上表，等差数列和等比数列从运算角度考虑有类比之比之处，即
等差数列中的“加” 、“减” 、“乘”，分别对应等比数列中的“乘” 、
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“除” 、“乘方”.
例1等差数列na中若010a，则有等式

nnaaaaaa192121

，（Nnn,19）成立,类比上述性质，相应
地,在等比数列｛nb｝中，若19b则等式 成立.
解：由已知nnss19，猜想，当09a时，nnss17﹙n＜17,n∈N﹚
因为nnss17

0)217()217(29171171
na
n
aa
aa
nn
nn


所以nss177
类比上述结论，当｛nb｝为等比数列且19b，可得
nnbbbbbb172121

，

),17(Nnn
.
2.数形结合的思想
例2 等差数列﹛na﹜的前n项和为ns，已知0,01712ss，推出1221,,,sss
中哪一个最大，并说明理由.
解：因为等差数列的前n项和公式为

BnAnndadnndnasn
21212)2(
2
)1(

2,2
dBd
A其中

所以它所表示的点),(nsn在过原点的一条抛物线.
设抛物线与n轴交于点0,aA，则1312a,且顶点横坐标2a满足
2132
6

a
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因为2721,21620aa
所以76ss

6A7a/2nSnO
因而1221,,,sss在中6s的值最大.

3.转化的思想
例31,21,22xxxg时的反函数为

.,,,1,1121nnagaagaaxgy

求数列﹛na﹜的通项公式.
解：由已知得1,0,22xxxg

因为221nnaa.即122nnaa
设)()(21xaxann得
11232nnn
aaxa
所以32x

得2132321nnaa
即数列｛32na｝是公比为21的等比数列
所以111)21(31)32(32nnnqaa
得nna)2(132
由数列的递推式及初始条件求数列的通项是数列中的难点之一且方
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法各异.本例是用待定系数法将递推式转化成等比数列求得数列﹛na﹜的
通项 .
4.分类讨论的思想
等比数列﹛na﹜的前n项和公式中，讨论q=1,q≠1两种情况.
例4 设数列na为等比数列,aa1，q为数列na的公比.求数列na的
通项公式.
解：①当1q时
aqaann
1
1

所以数列na为常数数列

②当1q时
11n
n
qaa

5.灵活应用数学概念的能力
例5 等差数列﹛na﹜的前12项，且它的12项之和35412s。若该数列的
所有偶数项之和偶s与所有奇数项之和奇s之比为32:27.求数列﹛na﹜的公
差d.
解：由2732奇偶ss
由公比定理得
322727-32-偶奇奇偶ss
ss

即 5953546d
解得5d
本例若由已知条件列出关于da,1的方程组求得d，但运算较繁.现应用
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等差数列的概念，其解法简洁明了.
6.变形的能力
例6 等比数列﹛na﹜的前n项和为963,2ssssn若，求数列的公比q
解：因为3639336)1(,)1(sqqssqs
又9632sss
所以363333)1(2)1(sqqsqs经整理的02336sqq

解得03s（舍）或243q
⑴当03s，得012qq，解得iq2321.若Can，则iq2321不
应该舍去.
⑵若本例用等比数列的前n项求和公式，则1,1qq要讨论两种情况.
7.设数的能力
例7 设﹛na﹜是等差数列，81,821.21321321bbbbbbbnan已知，求等差数
列的通项na.
解：设d为数列﹛na﹜的公差，则：daadaa2321,

由81212122223321adaadabbb
所以12a
又82121212111321ddbbb

经整理得0421172142dd
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解得421d或4121d
2d或2d

ndnaan2522
或32nan

当等差数列的每项为奇数时，可设该数为,
,3,2,,,,2,3dadadaadadada，
，
类比得当等比数列的每项为奇数时，可设该数列为,

,,,,,,,,3223aqaqaqaqaqaqa，
其中d和q分别是等差数列的公差和等比数列
的公比.

参考文献
[1] 全日制普通高级中学教科书·数学（必修）.第一册上. 人民教育出版
社.2006年6月第2版.
[2] 朱国华 彭梦华 周大可.常备高中数学公式定理词典.北京开明出版
社.2002年2月第1版.