可编辑
精品文档，欢迎下载
2_3_1
图形的面积近似为

xxf)(

小条分得越细，近似程度越高，令所有小条的宽度趋于0，就得到图形面
积的精确值． 这种分割、近似、求和、取极限的方法也可以解决其它应
用问题．

如果用S表示图形的面积，由定积分的定义可知

baxxfS)d(

从这个问题的解决可以看出，当0)(xf时，baxxf)d(的几何意义就是
由曲线)(xfy与x轴及直线 bxax,所围的平面
图形的面积．
图形上端曲线方程为)(xfy，将图形划分为一些小条，其中
小条面积用矩形面积近似，即

y
x O a b x x+Δx

y
x O a b x x+Δx
可编辑

精品文档，欢迎下载
将这块土地抽象成坐标系中的这个图形 （如图2_3_1），
图形上端曲线方程为)(xfy，将图形划分为一些小条，其中
小条面积用矩形面积近似，即
xxf)(

0 a x1 x2 xi-1 xi b
可编辑

精品文档，欢迎下载
再来看一般的情况，计算如下图形的面积

图形上面的曲线为)(xfy，下面的曲线为)(xgy，由定积
分的几何意义可知图形的面积为

bababaxxgxfxxgxxfS)]d()([)d()d(

或表示为

baxyyS]d[

下
上

一个积分是在对称区间],[aa上的积分，如果遇到这样的
积分，就可以考察被积函数的奇偶性，结论是









是偶函数时当是奇函数时当)(,)d(2)(,0)d(0xfxxfxfxxf
a

a

a

这个结论可以由几何直观加以验证

y
x O a b

y
x O －a
a

可编辑
精品文档，欢迎下载

从上图可以看出，
当)(xf是奇函数时有aaxxfxxf00d)(d)(；
当)(xf是偶函数时有aaxxfxxf00d)(d)(．

从上图可以看出，
当)(xf是奇函数时有aaxxfxxf00d)(d)(；
当)(xf是偶函数时有aaxxfxxf00d)(d)(．
y

y
x O －a a
可编辑

精品文档，欢迎下载
例1 三角形底为1，高为2，求三角形的面积．
解：按三角形面积公式有
1212121高底S

用定积分计算（如图）

10d2xxS

1102x
例2 梯形上底为1，下底为2，高为1，求梯形的面积．
解：按梯形面积公式有

23121212
1
）（高下底）（上底S

用定积分计算（如图）

21dxxS

232
2
1
2


x

例3 求半径为2的圆的面积．
解：按圆的面积公式有

422S

用定积分计算（如图）

202d44xxS

y
x
O 1

2

y
x
O 1 2 2

y
x
O
2
可编辑
精品文档，欢迎下载
令txsin2，则ttxdcos2d，
0x时0t；2x
时2t．


202dcos2sin444tttS


202dcossin116ttt

202dcos16tt
20d22cos116tt
20)2sin21(8tt

4

例6 求由xy，3xy所围成的平面图形的面积．
解：平面图形如图所示，在区间)0,1(上

xx3
在区间)1,0(上

3
xx

由此得

103013d)(d)(xxxxxxS

y
x
O
1

1
可编辑

精品文档，欢迎下载
21)42()24
(10420124


xxxx

例7 计算222)dsin(xxxx．
解：因为2,xx都是偶函数，xsin是奇函数．所以2xx是偶函数，
xxsin
是奇函数．由此得



22222222dsind)dsin(xxxxxxxxxx


203202d20d2xxxxx

课后作业

1．利用定积分的几何意义计算下列定积分：
（1）10dxx； （2）)0(d022RxxRR.
2．求由下列曲线所围平面图形的面积：
（1）直线6,3,0,23yyxxy；
（2）2xy与2yx；
（3）xycos与x轴，在区间],0[上.
3．利用函数的奇偶性求下列定积分的值：

（1）224dsinxxx； （2）223dxx； （3）

11
23

)d64(xxx

.
可编辑
精品文档，欢迎下载
练习
可编辑

精品文档，欢迎下载
练习2 求由曲线3xy与直线0,2xxy围成
的平面图形的面积．

练习2 求由曲线3xy与直线0,2xxy围成
的平面图形的面积．
分 析

解：表示所求面积的定积分的积分区间是 .
分析：两条曲线)(xfy与)(xgy所围成的面积表示为

baxxgxfSd)()(

其中积分上下限ba,是两曲线相距最远的两个交点的横坐
标（如果有第3条曲线则情况例外）．要计算这个积分，
需要去掉被积函数的绝对值号，这就要弄清)()(xgxf在区间],[ba上的符
号．

分析：求3xy与2xy的交点，确定积分限．
3
xy

与2xy的交点为)1,1(，故积分区间为)1,0(

详解：与2xy的交点为)1,1(，故积分区间为)1,0(．

练习1 求由曲线12xy与x轴及直线2,0xx
围成的曲边梯形的面积．
可编辑

精品文档，欢迎下载
解：12x在区间]2,0[上的符号是 .
可编辑

精品文档，欢迎下载
分析：一条曲线)(xfy与x轴在区间],[ba上所围成的面积表示为

baxxfSd)(

要计算这个积分，需要去掉被积函数的绝对值号，这就要弄清)(xf在区间
],[ba
上的符号．

提示：考虑12x在区间)2,0(内是否与x轴有交点，有则变号，没
有则不变号．
详解：12x与x轴的交点为)0,1(，在区间)2,0(内．在区间)1,0(上
012x
在区间)2,1(上
012x

12x
与x轴的交点为)0,1(，在区间)2,0(内．在区间)1,0(上

012x
在区间)2,1(上

012x
.