b
f ( x)dx
b g( x)dx 。
a
a
15
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
例1 利用定义计算定积分 1 x2dx. 0
解：∵ x2在[0, 1]上 连续，∴ x2在[0, 1]上 可积。
将[ 0,1]
n等分，分点为 xi
i ，(i 1,2, n
,n)
小区间
[ xi1 , xi ]
曲边梯形的面积 A 是曲边函数 y f ( x) 在区间[a,b]
上的定积分： A b f ( x)dx 。 a
变速直线运动的物体所经过的路程 s 是速度函数
v v(t) 在时间区间[a,b]上的定积分： s
b
v(t )dt
。
a
13
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
2．定积分定义的剖析
b f ( x)dx 0 。 a
性质 5 若 f R[a,b]，则| f | R[a,b]，且
b
f ( x)dx
b f ( x) dx 。
a
a
26
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
例 2 比较下列各对积分值的大小.
（1）
13 xdx 与
1 x3dx ；（2）
1 xdx 与
161n12n1,
当
max
1in
xi
1 n
0 时，即 n
，有
1 x2dx 0
n
lim 0 i1
i2xi
lim 11121 1 . n6 n n 3
17
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
例 2．用定积分的定义计算 1 e xdx 。 0
解：∵ e x在[0, 1]上 连续，∴ e x在[0, 1]上 可积。
4
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
（1）分割
在区间 [a,b]内插入若干个分点，
a x0 x1 x2 xn1y xn b,
把区间[a,b] 分成n
个小区间[xi1, xi ]，
长度为xi xi xi1;
Ai
o a x1
b xi1 x i xn1
x
直线 y xi ( i 1, 2, , n 1 ) ，把整个曲边梯形
取正号， 在 x 轴下方的面积取负号。
A1
A 2 A 3 A 4
23
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
几何意义：
它 是 介 于 x 轴 、 函 数 f (x)的 图 形 及 两 条 直线xa, xb之间的各部分面积 数的 和代 ． 在x 轴 上 方 的 面 积 取 正 在x号轴；下 方 的 面 积取负号．
b
f ( x)dx
a f ( x)dx ；
a
b
当 a b 时， a f ( x)dx 0 。 a 14
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
3．三类可 积函数 （即定积分的存在性）
（1） 若 f ( x)C[a,b]，则 f ( x) R[a,b]。反之未必。 （2）若 f ( x) 在[a,b]上有界，且在[a,b]上除去有限个点
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
四、定积分的几何意义
1． f ( x)C[a,b] ，且 f ( x) 0 ，则 b f ( x)dx 表示 a 以 y f ( x) 为曲边的曲边梯形面积 A 。
y y f (x)
y
a
b
o
x
oa
bx
y f (x)
2．若 f ( x)C[a,b] ，且 f ( x) 0 ，则 b f ( x)dx A ， a
上物体所经过的路程 s。
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
8
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
（1）分割
a t 0 t 1 t 2 t n 1 t n b
ti titi1
的长度xi
1 ，(i n
1,2,
,n)
取 i
xi
i ，(i n
1,2,
, n)
n
i1
f (i )xi
n
i1
i 2xi
n i 1
x
2 i
x
i
n i1
i 2
n
1 n
16
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
n
i1
i n
2
1 n
1
n3
n
i2
i 1
n 13n(n1)62 (n1)
分成 n 个小曲边梯形，其中第 i 个小曲边梯形的
面积记为 Ai ( i 1, 2, , n ) 。
5
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
（2）近似
y
在每个小[区 xi1,间 xi]
上任取一 i，点
第i个小曲边梯形 o a x 1
b xi1i x i xn1
x
的 面 积 可[x用 i1,以 xi ]为 底f， (i )为 高 的
n
作和式 S f (i )xi ，其中xi xi xi1，，
i 1
记 maxx1{,x2,,xn}，
11
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
如果不论[a,b]怎样分法及i 如何 选取， 当 0 时，
和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x) 在 [a, b]上的
定积分，记作 b f ( x)dx ，即 a
积分和
积分上限 a bf(x )d x I l i0i n m 1f(i) x i
积分下限
被
积
函
数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表 达 式
变 量
若定积分 b f ( x)dx 存在，则称 f ( x) 在[a,b] 上可积。
a
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3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
定积分的定义是构造性的，本质上是一种特殊结构 的和式的极限。
10
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
二、定积分的定义 1、定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，任取一组分点
a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成 n 个小区间[xi1, xi ] (i 1,2, , n) ，
在各小区间上任取 一点i [ xi1, xi ] ，
或
A
b
a
f
( x)dx 。 曲边梯形的面积的负值
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
3．若 f ( x)C[a,b] ，且 f ( x) 有正有负时，则
b
f ( x)dx
a
等于由连续曲线 y f ( x) ，直线 x a ， x b 及 x 轴所
围成的几个曲边梯形面积的代数和， 在 x 轴上方的面积
3.1-3 定积分的定义、性质 和几何意义
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
一、定积分问题举例
y y f (x)
1、实例1 （求曲边梯形的面积）
A?
曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线 yf(x)(f(x)0)、
x轴 与 两 条 直 线 xa、
xb所 围 成 .
oa
bx
y
y f (x)
A?
max{x1,x2, xn} 趋近于零 ( 0)时，
n
曲边梯形面积为
Alim
0i1
f(i)xi
以上四个步骤可以概括为一句话：
“分割取近似，求和取极限。”
7
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
2、实例2 （求变速直线运动的路程） 设一物体作变速直线运动，已知速度 v v(t) 是 时间 t 的连续函数，且 v(t) 0 ，求在时间间隔[a,b]
小矩形面积来近Ai似 f， (i即 )xi
（3）求和 A f ( ξ 1 ) x 1 f ( 2 ) x 2 f ( ξ i ) x i f ( ξ n ) x n
n
即 A f (i )xi 。
i 1
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3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
（4）取极限
当分割无限加,即细小区间的最大长度
任意常数，则函数 k1 f k2 g R[a, b] ，且
b
b
b
a (k1 f k2 g)dx k1
a fdx k2
gdx.
a
性质 3（对积分区间的可加性）
设函数 f 在某区间上可积，则 f 在该区间的任何子区间
上也可积，并且对该区间中的任意三个数 a, b, c 都有
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx.
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3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
例 1．利用定积分表示图中的面积。
y f (x) 1
（1）解： A b dx b a 。 a
ao b x y y sin x
y
y x2
o
x
-1 o 1
x
x2 y2 2
（2）解： A
0
sin x dx
sin x dx 。
0
（3）解： A 1 2 x2 dx 1 x2 dx
把[0,
1]
n 等分，分点为
xo
0，
x1
1 n
， x2
2 n
，…，
xi
i n
，…，
xn
n n
1 ；每个子区间的长度都是
xi
1 n
，在每个子区间[ i