x 13.67MPa
20.98MPa
40MPa 10MPa
τα σα
40MPa x α
20MPa
n
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
5.2 平面应力状态分析
5.2.2 主平面和主应力
平面应力状态中有一个主平面是已知的，另外两个主平面
可通过确定正应力极值的方法求出。
将（5 - 3）对求导，并令d 0得： d
5.1 应力状态的概念
5.1.2 主平面和主应力
1.定义：单元体上剪应力为零的平面称为主平面。主平 面上的正应力称为主应力。
2.主应力单元体：由主平面组成的单元体，称为主应力 单元体。常用它表示一点的应力状态。
σ1 (a)
σ2
σ2
σ1
σ1
σ3
(b)
(c)
图5-3 应力状态分类
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
( x y )sin cos xy (cos2 sin 2 )
因：cos2 1 cos2 , sin 2 1 cos2 ,
2
2
2sin cos sin2 , 代入上式得：
x
y
2
x
y
2
cos2
xysin2
x
y
2
sin2
xy cos2
(5 1) (5 2)
(5 3) (5 4)
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
5.2 平面应力状态分析
例5-1：已知如图，求斜截面上的正应力和剪应力。
解：令 x 40MPa , xy 10MPa,
y 20MPa, 600 .
代入下式得：
x
y
2
x
y
2
cos2
xy sin2
y
20MPa
10MPa
x
y
2
sin2
xy cos2
第五章 应力状态分析 强度理论 组合变形
一、课时安排：4学时 二、本章的重点、难点：
1.重点：强度理论； 2.难点：三向应力状态分析； 3.掌握平面应力状态分析中主应力的求法；
三、本章授课内容：
5.1 应力状态的概念 5.2 平面应力状态分析 5.3 三向应力状态简介、广义虎克定律 5.4 强度理论简介 5.5 组合变形的强度计算
5.2.1 任意斜截面上的应力
任取斜截面ef，其法线n与x轴正向的夹角为α。规定： α角自x轴正向逆时针转到n为正。
y
σy
n
τyx
d
c
α
e
σx
x
f τxy
a
b
dA
τxy e τα σα
σx
n αx
f
a
τyx
σy
t
(a)
(b)
图5-5 斜截面上的应力
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
5.2 平面应力状态分析
τxy e τα σα
αx
t 0 , ταdA(τxydAcos )cos
σx
(σ xdAcosα)sinα (τ yxdAsinα)sinα
f
a
τyx
(σ ydAsinα)cosα 0
σy
t
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
5.2 平面应力状态分析
化简后得：
xcos2 ysin 2 2 xysin cos
max
max
min
2
再比较（5 - 5）和( 5 8 ),可见：
(5 9)
tan21
1
tan2 0
ctan2 0
tan( 20
2
)
因此有：
2 1
2 0
2
, 1
0
4
这说明极值剪应力所在平面与主平面成450 角。
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
例5-2：分析拉伸试验时低碳钢试件出现滑移线的原因。
A P
P
P
2
A
y
n
σ0 45
450
σ
x
A
τmax
(a)
(b)
(c)
因 x , y 0, xy 0 由（5 - 6）式得： max , min 0, 由（5 - 9）得： max 2。
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
例5-3：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件 受扭时的破坏现象。
m
m
A
τ m W
A
3
450
x A
τ max
1
(a)
(b)
(c)
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
5.3 三向应力状态简介、广义虎克定律
5.3.1 三向应力的最大应力
三向应力状态：若过一点单元体上三个主应力均不为零。 称该单元体处于三向应力状态。
设三向应力状态的三个主应力为： 1、 2、 3
max min
x
y
2
(x
y
2
)2
2 xy
(5 6)
比
较
max、
min
和0的
大
小
，
便
可
确
定
1、
、
2
和
。
3
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
5.2 平面应力状态分析
5.2.3 极值剪应力
为确定极值剪应力，令 d 0 ,由公式（5 - 4）得：
d
d d
(x
y
)cos2
2 xysin2
0
设
极
值
剪
应
力
所
在
平
面外
法
线
与x轴
正
向
夹
角
为
，
1
则
：
ta n2 1
x y 2 xy
(5 7)
由
上
式
解
出s
in2
1和c
o
s
2
，
1
代
回
（5
-
4）
式
可
得
：
max min
(x
y
2
)2
2 xy
(5 8)
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
5.2 平面应力状态分析
将（5 - 6）式与（5 - 8）式对比，可得如下关系：
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
5.1 应力状态的概念
5.1.1 一点的应力状态
通过受力构件上一点的所有各个不同截面上应力的集合， 称为该点的应力状态。
P
A
P
σ
σσ
σ
A
A
m B m
Bτ
Bτ
图5-1 拉伸杆件一点的应力状态 图5-2 圆轴扭转表面一点的应力状态
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
5.2 平面应力状态分析
y
y
τyx
σy
σy
σx x
τyx
σx x
τxy
τxy
(a)
(b)
图5-4 二向应Biblioteka 状态单元体根据剪应力互等定 理知：τ xy τ yx
符号规定：正应力， 拉为正，压为负；剪应 力以对单元体内任一点 产生顺时针力矩为正， 反之为负。
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
5.2 平面应力状态分析
d d
2
x
y
2
sin2
xycos2 0
与（5 - 4）相比可知，极值正应力所在的平面为剪应力
( 0)为零的平面，即主平面。
tan2 0
2 xy x y
(5 5)
第五章-应力状态分析强度理论组合变形
5.2 平面应力状态分析
有（5-5）解出sin2α0和cos2α0代回（5-3）式，求的最 大正应力和最小正应力为：
设σx≥σy，其中，τ xy τ yx 取aef为研究对象。若ef的面
积为dA，则af和ae面的面积分别为：dAsinα和dAcosα 。
由静力平衡方程：
n 0 , σαdA (τxydAcos )sin
dA
(σ xdAcos )cos (τ yxdAsinα)cos
n
(σ ydAsinα)sin 0