优化设计与优化方法
课程名称: 先进制造技术学院：机械工程学院专业：机电信息工程******
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2013年 5月4 日
优化设计与优化方法
冯建平
(贵州大学机械工程学院，贵阳贵州 550003)
摘要：优化方法为工程设计提供了一种重要的科学设计方法，在各行各业均有应用，其中在机械行业的应用尤为广泛。
本文简单的介绍了一下什么优化设计、优化设计的思想以及简单的步骤，主要介绍了几种常用的优化方法。
关键词：优化设计思想步骤优化方法
一、什么是优化设计
优化设计是一种规格化的设计方法，它首先要求将设计问题按优化设计所规定的格式建立数学模型，选择合适的优化方法及计算机程序，然后再通过计算机的计算，自动获得最优设计方案。
二、优化设计的思想
优化设计的指导思想源于它所倡导的开放型思维方式,即在面对问题时,抛开现实的局限去想象一种最理想的境界,然后再返回到当前的现状中来寻找最佳的解决方案.在管理学中有一句俗语,“思路决定出路,心动决定行动”.如此的思维方式有助于摆脱虚设的假象,这并非属于异想天开或者好高骛远的空想,而是强调一切从未来出发,然后再从现实着手。
三、优化设计的步骤
一般来说，优化设计有以下几个步骤：
1、建立数学模型
2、选择最优化算法
3、程序设计
4、制定目标要求
5、计算机自动筛选最优设计方案等
四、优化设计的方法
(一)分类
根据讨论问题的不同方面，有不同的分类方法：
1、按设计变量数量来分
（1）单变量（一维）优化
（2）多变量优化
2、按约束条件来分
（1）无约束优化
（2）有约束优化
3、按目标函数来分
（1）单目标优化
（2）多目标优化
4、按求解方法特点
（1）准则法
（2）数学归纳法
（二）常用的优化方法
常用的优化方法：单变量（一维）优化，无约束优化，多目标函数优化，数学归纳法。
1、单变量（一维）优化
（1）概述
单变量（一维）优化方法是优化方法中最简单、最基本的方法。
（2）具体优化方法
1)黄金分割法（0.618法）
黄金分割是指将一段线段分成两端的方法，使整段与较长段的比值等于较长段与较短段的比值，即
1: λ=λ:(1−λ)
2)插值法
插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。
3)黄金分割法（0.618法）与插值法的比较
相同点：
两种方法都是利用区间消去法原理将初始搜索区间不断缩短，求得极小值的数值近似解。
不同点：
表现在试验点（插入点）位置的确定方法不同。
黄金分割法：试验点是按照某种个特定的规律确定；不考虑函数值的分布；插值法：试验点是按照函数值近似分布的极小点确定；利用了函数值本身及其导数信息。
2、无约束优化
（1）概述
无约束最优化问题是：求n维设计变量X=[x1,x2,…,x n]T使目标函数为min f(X)，而对X没有任何限制；如果存在X*,使min f(X)=f(X*)分别称X*为最优点，f(X*)为最优值
（2）具体优化方法
无约束最优化方法归纳起来可分为两大类：
直接法：变量（坐标）轮换法、共轭方向法、鲍威尔(Powell)法
间接法：梯度法、共轭梯度法、牛顿法
1)变量（坐标）轮换法
它是把多变量的优化问题转化为一系列单变量的优化问题的一种方法。
原理：沿着坐标轴的方向轮流进行搜索，直至最优点。
又称坐标轮换法。
特点：变量轮换法的基本思想认为坐标轴方向为有利的搜索方向，因此，在搜索
时总是沿着互相垂直的坐标轴方向，并变换多次，才能达到极值点。
搜索效率低，且越接近极值点，搜索速度越慢。
2)共轭方向法
设A为n×n阶实对称正定矩阵，如果有两个n维向量S1和S2满足
S 1T AS
2
=0
则称向量S1与S2对于矩阵A共轭。
共轭向量的方向称为共轭方向，
沿着共轭向量的方向进行搜索的方法称为共轭方向法。
3)鲍威尔(Powell)法
鲍威尔(Powell)法又称鲍威尔共轭方向法，它是对原始共轭方向法的改进，与原始共轭法的区别在于它对于每一次的搜索结果进行判断，并选择最优方向继续搜索。
4)梯度法
基本原理：
人们利用函数在其负梯度方向函数值下降最快这一局部性质，将n维无约束极小化问题转化为一系列沿目标函数负梯度方向一维搜索寻优，这就成为梯度法的基本构想。
5)共轭梯度法
基本原理：
在梯度法的基础上，利用目标函数的共轭方向和一阶导数推算和重置负方向梯度，从而得到最优的搜索结果。
6)牛顿法
A.原始牛顿法
基本原理：
原目标函数f(X)用在迭代点X(k)邻域展开的泰勒二次多项式ψ(X)去近似的代替，再以ψ(X)这个二次函数的极小点Xψ*作为原目标函数的下一个迭代点X(k+1)，这样重复迭代若干次后，使迭代点点列逐步逼近原目标函数的极小点。
B. 阻尼牛顿法
基本原理：
在原始牛顿法的基础上，在搜索的的每一步选择最优因子进行下一步的搜索。
3、多目标函数优化
（1）概念
同时要求实现：
成本、重量、体积的降低
利润、产量、承载能力的提高
（2）方法分类
一类直接求出非劣解，然后从中选择较好解；另一类是将多目标优化问题求解时作适当的处理。
1)重新构造一个函数（即评价函数），将多目标（向量）优化问题转变为评价
函数的单目标（标量）优化问题——主要目标法、统一目标法。
2）将多目标（向量）优化问题转化为一系列单目标（标量）化问题来求解——分层序列法
3）协调曲线法
（3）主要方法介绍
1)主要目标法
抓住主要目标，兼顾其他要求。
（选择一个目标作为主要目标，将其他目标转化成约束条件）
2)统一目标法
又称为综合目标法，它是将原多目标优化问题，通过一定法转化为统一目标函数或综合目标函数作为该多目标优化问题的评价函数，然后用前述的单目标函数优化方法求解。
3)协调曲线法
基本思想：
在多目标优化设计中，当各分目标函数的最优值出现矛盾时，先求出一组非劣解，以其集合得出协调曲线，再根据恰当的匹配关系得到满意曲线，沿着满意程度的增加的方向，各分目标值下降，直至获得选好解。
主要用来解决设计目标互相矛盾的多目标优化设计问题。
4、数学归纳法
（1）概述
数学归纳法是从解极值问题的数学原理出发，运用数学规划的方法来求解最优解。
（2）分类
1)线性规划
研究线性下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。
2)非线性规划
非线性规划研究一个 n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。
3)动态规划
动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题。
参考文献
[1] 陈秀宁.机械优化设计（第二版） . 杭州：浙江大学出版社， 2009
[2] 陈秀宁. 机械优化设计基础（第三版）.杭州：浙江大学出版社， 2007
[3] 曾昭华，傅祥志.优化设计.北京：机械工业出版社，1992
[4]陈立周.机械优化设计方法（第二版）.北京：冶金工业出版社，2003
[5]梁尚明，殷国富.现代机械优化设计方法.北京：化学工业出版社，2005。