第六章
超弹性
Workbench – Mechanical 结构非线性
6-1
Workbench Mechanical - Hyperelasticity
超弹性章节综述
• 本章包含以下内容:
– – – – 高弹体背景 超弹性理论 曲线拟合过程 查看结果
Training Manual
• 本章节描述的能力适用于ANSYS Structural及以上的 licenses.
t Lo Lo l2 to LL
l1 l L L o
6-7
Workbench Mechanical - Hyperelasticity
... 应变不变量定义
• 三个应变不变量一般用于定义应变能密度函数.
2 2 I1 l1 l2 l 2 3 2 2 2 2 2 I 2 l1 l2 l2 l l 2 3 3 l1 2 2 2 I 3 l1 l2 l3
Training Manual
– Vtol 默认值为1e-5.
• 如由于Mixed u-P 不能满足体积协调条件而导致收敛失败, 通过定义 ‘di’ 参 数的一个小的非零值引入一不可压缩小量是有帮助的.
– di 反比于体积模量. 默认地, 如曲线拟合(下一部分)中没引入体积试验数据, 则材料 假定为完全不可压缩的 (di=0).
6-11
Workbench Mechanical - Hyperelasticity
... 应力和应变的计算
• 通过应变能密度函数，可计算应力应变.
– 需要采用应力-应变共轭测量 – 基于W,确定第二 Piola-Kirchoff 应力(和 Green-Lagrange 应变) :
Training Manual
W Wd I1 , I 2 Wb J
W Wd l1 , l2 , l3 Wb J
式中偏差主延伸和偏差不变量被定义为(对p=1,2,3 ):
1 3 2
lp J
Ip J
lp
Ip
3
因而, 使用 l p 和 I p 可以将W分为偏差项和体积项。 注意 I3=J2, 所以定义 W 时不采用 I3.
Unextended chain
Training Manual
Extended chain
– 橡胶强化通过橡胶硫化过程中分子链间形成交联 来实现(例如，可能的链结构数量减少).
• 这不象金属，例如，弹性行为是由于分子连接展开。 (见第5章)
Schematic of single molecular chain. In network, these chains are randomly oriented and often have crosslinks.
J total J th
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Workbench Mechanical - Hyperelasticity
... 应变势能的定义
• 应变势能 (或应变能函数)通常表示为W
– 应变势能或者是主延伸率的直接函数，或者是应变不变量的函数
Training Manual
W W I1 , I 2 , I 3 or W W l1 , l2 , l3
– 例外情况会根据需要说明
6-2
Workbench Mechanical - Hyperelasticity
A. 高弹体背景
• 高弹体是一种聚合物, 具有如下性能
– 高弹体包括天然和合成橡胶, 它是非晶态的, 由 长的分子链组成
• 分子链高度扭转、卷曲, 且在未变形状态下取向任 意 • 在拉伸载荷作用下, 这些分子链部分变得平直、不 扭曲 • 去除载荷后， 这些分子链恢复最初的形态
• 其他模型 (Mooney-Rivlin, Yeoh 和 Neo-Hookean) 都是多项式模 型的缩减形式。
Polynomial
第一和第二应变不变量现象模型
Mooney-Rivlin
第一和第二应变不变量线性模型
Yeoh
第一应变不变量现象模型
2-term M-R
第一第二应变不变量现象模型
3-term Yeoh
... 混合u-P 公式
• 超弹性体的体积比 (J) 定义为:
Training Manual
V J Vo
– 其中 V和Vo 分别是单元的更新的和初始体积.
• 为保持不可压缩行为, 必须满足体积协调性约束.
– 完全-不可压缩超弹性材料, 不会发生体积改变. – 使用 J, 可确定体积变化数 – 完全-不可压缩状况, J 应等于 1. 换句话说, 最终和初始体积是相同的 (无体积变 化)
...延伸率定义
Training Manual
• 举例说明主延伸率的定义, 考虑一个薄正方形橡胶薄板进行双向拉伸， 主延伸率 l1 和 l2 描述了平面内变形特征，另一方面, l3 定义厚度变 化 (t/to)，另外, 若材料假设为完全不可压缩, 则 l3 等于l-2.
l2 l L L o
l3
第一应变不变量现象模型
Neo-Hookean
第一应变不变量现象模型
基于应变不变量的近似/完全不可压缩现象超弹性模型.
.
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Workbench Mechanical - Hyperelasticity
... W的特殊形式
• 根据所选择的应变能函数W, 材料常数数目不同.
• 选择依赖于:
• 高弹体类型 • 加载条件 (% Strain)
Sij
dW dEij
– 注意ANSYS结果以真实应力和应变输出。超弹性曲线拟合(稍后描述) 要求工程 应力和工程应变.
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Workbench Mechanical - Hyperelasticity
... 多项式
• 多项式形式 基于第一和第二应变不变量，它是如下形式的现象学模型
Training Manual
• 求解信息将记录这个改变
6-20
Workbench Mechanical - Hyperelasticity
... 混合 u-P考虑事项
Training Manual
• 对完全不可压缩问题, 如果所有的边界节点已指定位移，不存在唯一的求解.
– 这是由于静水压力 (内部DOF) 是独立于变形的. 静水压力需由力/压力边界条件 来确定. 否则不能计算静水压力，没有唯一求解. – 对这些情形, 至少一个节点没有应用边界条件将矫正这种情形.
– 式中初始体积和剪切模量被定义为
o
a
i 1 i
N
i
2
2 o d1
i, ai,和 di是用户定义的材料属性. – 如果未知，可以从试验数据经曲线拟合推导而来.
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Workbench Mechanical - Hyperelasticity
... 模型分类
Training Manual
Training Manual
• 可利用的材料试验数据.
• 总体而言，应变能密度函数是最接近应力应变实验数据曲线的函数。
– 在大多多挑战性的应用里，往往只有一个函数是合适的。 – 通常两个或更多函数产生同样的响应。
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Workbench Mechanical - Hyperelasticity
• 从前面幻灯片中知, 对完全不可压缩材料体积比 J 应为常数 (J=1), :
J 1 0
• 这导致下面的体积协调方程ol V
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... 混合 u-P 公式
• 当不满足条件的时候，求解信息会记录.
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Workbench Mechanical - Hyperelasticity
... 混合u-P 公式
Training Manual
• ‘Mixed u-P’公式满足体积协调约束. Mixed u-P 代码在位移自由度(u)外自 动添加一内部静水压力自由度(P) 来强迫体积协调条件. 因此, 名为 Mixed u-P.
N
o
a
i 1 i
i
2
o
2 d1
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... 体积容差
• 体积协调约束中的容差(vtol)可通过 Command Objects放松.
Training Manual
为接受后续的solc,,,vtol手动激活 Mixed u-P 是必要的
... 体积比定义
• 体积比J定义为
Training Manual
J l1l2l3
如上所示, J 看作是材料变形后体积与未变形体积的比. • 在热膨胀情况下, 热体积变形为
V Vo
J th 1 e th
3
• 弹性体积变形与总的体积变形和热体积变形的关系如下:
J el J
Example of Rubber boot, o-rings/seals
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...高弹体背景
• 宏观上，橡胶行为呈现下列特征
Training Manual
– 能承受大弹性(可恢复)变形，任何地方都可达100-700%。正如前面提及的，这 是由于交联分子链拆开的原因. – 由于分子链的拉直引起变形, 所以在外加应力作用下, 体积变化很小。 因此, 高 弹体几乎不可压缩. – 它们的应力-应变关系是高度非线性的 – 通常, 拉伸状态下, 材料先软化再硬化，而压缩时材料急剧硬化.
Training Manual
• 延伸率(或只是‘延伸’) 定义为