Ｌ 。 （ ［ Ｏ ， ｏ ｏ ） ， ） ， 使得对任意 Ｈ （・ ） ∈Ｌ （ ［ ０ ， ｏ ｏ ） ；
） ， 有
Ｊ（ ｏ ， 五 ）≤ （ ｏ ， ｌ １ ） （ ３ ）
ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｚ ｉ ｎ ｇ ｆ ｅ ｅ ｄ ｂ ａ ｃ ｋ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ， ｗｈ ｉ ｃ ｈ ｉ ｓ ｕ ｎ ｉ ｆ ｏ ｒ ｍｌ ｙ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｉ ｎ ｇ ｔ ｏ ａ ｎ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍａ ｌ ｆ ｅ ｅ ｄ ｂ ａ ｃ ｋ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ １ ． Ｗｅ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ａ ｎ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ｆ ｏ ｒ ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｓ ｅ ｑ ｕ ｅ ｎ ｃ ｅ ．Ａｎ ｅ ｘ ａ ｍｐ ｌ ｅ ｉ ｓ
√ ０
ｇ （ ｘ ， ｕ ） ￣ ｄ ｔ 其中， 定 矩 阵 ，而
ｇ （ ｘ， Ｅ １ ） 是实解 析 函数 ， 按（ ， ｌ １ ） 展 开式 中 每项 的 次
Ａｎ Ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｑ ｕ ｅ ｆ ｏ ｒ Ｎｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ Ｏ ｐ ｔ ｉ ｍａ ｌ 数都 大于或 等于 ３ ． Ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ 由于 （ Ａ， Ｂ） 是稳定对 ， 并 注 意 到 ｆ（ ｘ ， ） 按（ Ｘ ，
文 章编 号 ：０ ２ ５ ３ — ３ ７ ４ Ｘ （ ２ ０ １ ３ ） １ ２ — １ ８ ９ ８ — ０ ５
非线 性 稳 定解 析 系统最 优 控 制 的迭 代 法
刘 国华 ，朱 经 浩
（ １ ．同 济 大 学 数 学 系 ， 上海 ２ ０ ０ ０ ９ ２ ；２ ．上 海 理 工 大 学 理 学 院 ， 上海 ２ ０ ０ ０ ９ ３ ）
ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｆ ｏ ｒ １ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ， ｗｅ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ａ ｓ ｅ ｑ ｕ ｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ
取有 限值 ．这 样就 可提 出以下 非 线性 稳 定解 析 系统
最优控制问题叫 ：当１ １ ｌ Ｉ 适当小时 ， 寻求 （・ ） ∈
ｌ １ ） 的展 开式 仅包 含 次数 大 于或 等于 ２的项 ， 对 于 反 馈控制 ｌ ｌ （・ ） ＝Ｋｚ （・ ） （ ＫＥ 定 阵） ，当 ｌ Ｉ 使 得 Ａ＋Ｂ Ｋ 是 稳 ｌ ｌ 适 当小 时 ，由 常 微 分 方 程 经 典 理
论 可知 ， 方程（ １ ） 以 为 初 始状 态 的解 Ｘ （・） 在
Ｌ Ｉ Ｕ Ｇ ｕ ｏ ｈ ｕ ａ ． Ｉ ￣ ｔ ＵＪ ｉ ｎ ｇ ｈ ａ ｏ
（ １ ．Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ， Ｔｏ ｎ ￣ｉ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ
２ ０ ０ ０ ９ ２ ， Ｃｈ ｉ ｎ ａ； ２ ． Ｃｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ， Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ ｆ ｏ ｒ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ＆ Ｔｅ ｃ ｈｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ，Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ ２ ０ ０ ０ ９ ３，Ｃｈ ｉ ｎ ａ ）
Ｅ ０ ， Ｃ × ３ ） 上 是惟 一存 在且 稳 定 的 ，同 时泛 函 （ ， ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｗｅ ｆ ｏ Ｃ Ｕ Ｓ ｏ ｎ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍａ ｌ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ １ ｔ ｏ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｚ ａ ｂ ｌ ｅ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｔ ｉ ｃ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍｓ ． Ｂ ｙ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ｉ ｎ ｇ Ｋｌ ｅ ｉ ｎ ｍａ ｎ
中图 分 类 号 ： Ｏ ２ ３ ２ 文献标志码 ： Ａ
考 虑容 许 的控 制 函数 Ｈ （・ ） ∈Ｌ 。 （ Ｅ ０ ， ｏ ｏ ） ； ） 和初
始状态 Ｘ 。 ∈Ｒ ．
接 着定义 如下 泛 函 ：
ｒ
（ ｏ ， Ｈ ） 一ｌ Ｉ ｘ （ ｔ ） Ｗｘ （ ） ＋ｕ Ｔ （ ｔ ） Ｕ ｕ （ ） ＋
摘要 ： 研究非线性稳定解 析系统 的最优控 制问题．推广线性 对 卜 ，即存在 ＫＥ Ｒ ｍ 使得 Ａ＋Ｂ Ｋ是 稳 定 阵 ；而 稳定系统最优控 制的 Ｋｌ ｅ ｉ ｎ ｍａ ｎ迭代 法 ，构造非 线性稳 定反 ｆ（ ｘ ， ） 为 实 解 析 函数 ，在 的 原点 的邻 域 内按 馈控制序列 ， 使得 相应 的评 价泛 函序列 单调 下降 和一致 收 （ ， “ ） 展开 式 中每 项 的次数 都 大 于 或等 于 ２ ．另 外 ， 敛， 并证 明非线性稳定反馈控 制序列一致收敛到非线性最优 控制问题的最优 反馈控制． 同时 ， 建立一个 待定幂级数算 法 ， 计算迭代序列 ， 逼近非线性 最优控制 问题 的最优 反馈控 制 ， 并给 出一个 例子加 以演示 ． 关键词 ： 非线性稳定解析系统 ； Ｋｌ ｅ ｉ ｒ ｍ ｌ ａ ｎ迭代法 ；非线性稳 定最优反馈控制
第４ １ 卷第 １ ２期 ２ ０ １ ３年 １ ２月
同 济 大 学 学 报（ 自 然 科 学 版）
Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｏ Ｆ ） Ｎ Ｇ Ｊ Ｉ Ｕ Ｎ Ｉ Ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ （ Ｎ Ａ Ｔ Ｕ Ｒ Ａ Ｌ ｓ ｃ Ｉ Ｅ Ｎ Ｃ Ｅ ）
Ｖｏ ｌ ＿ ４ １ Ｎｏ． １ ２ Ｄｅ ｃ ．２ Ｏｌ ３