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翻折与旋转在正方形解题中的应用
季红娟（江苏省常州市武进区前黄实验学校 213172）
正方形素有完美的四边形之称，利用其本身的特性，巧用旋转和对称，对学生能力的
培养是很有好处的。人教版数学八年级教科书中，有这样的一道习题：如图1，四边形ABCD
是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F。求证：
AE=EF。
图1 图2
按照教材提示做辅助线：在AB上任取一点M，使AM=EC，连结ME，如图2，
因为∠MAE=∠FEC，∠AME=∠ECF，所以△AME≌△ECF，故AE=EF。这样很容易获得
结果。但我们对于这道题目不妨做如下的探讨和研究：
（1）将上述问题中“点E是边BC的中点”，改为“点E是边BC上的任意一点”，其他条
件不变，求证：AE=EF。（如图3）
方法1
：回归原问题，做同样的辅助线，如图3，在AB上取一点M，使得AM=EC，可以

证明AE=EF。
图3 图4
方法2：如图4，连结AC并延长到H，使CH=CF，连结EH。
∴△HCE≌△ECF
∴∠H=∠F，EF=EH ∵∠EAC=∠F
∴∠EAC=∠H， ∴AE=EH
∴AE=EF
此解法的基本思路就是构造全等，转化。我们可以看成将△FEC沿BC所在直线翻折而得到
△HCE，是轴对称的一个简单运用。同样的，我们将△AEB沿BC所在直线翻折而得到△
HEB，自然就有：
方法3：如图5，延长AB、FC交于H点，连EH。可得AE=EH=EF。证明过程略。
方法4：如图6，连AC，在AC上取一点Q，连EQ，使EQ=EC。
∴△FCE≌△AQE ∴AE=EF
此方法的实质不就是将△FCE绕点E按逆时针方向旋转90°而出现的结果吗？多么完
美的全等变换！
图5 图6
同样，若将△AEB绕点B按顺时针方向旋转90°，就会有：
方法5：如图7，延长AB到R，使BR=BE，连RE，RC
∴△ABE≌△CBR ∴∠BCR=∠BAE
∵∠FEC=∠BAE ∴∠BCR=∠FEC
∴EF∥RC ∴∠REC=∠FCE=135°
∴ER∥FC
∴四边形ERCF为平行四边形
∴CR=FE ∴AE=FE 图7
解法既漂亮又完美。证明了结论还复习了平行四边形的有关知识，而且还是旋转的一个
简单应用。
（2）若E在BC的延长线上，其他条件不变，AE与EF还相等吗？试说明理由。
有了（1）的讨论，我们可以用类似的方法证明（2）的结论仍然成立，如图8，9，10。
对于证明的过程就省略不写了。
图8 图9 图10
反思：问题的解答与探索，总结其方法，不就是构造全等，运用旋转与翻折吗？根据全等变

R
F
ABCD
E
G
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换自身的特点，我们可以将其进行推广，可以进行下面更一般的探讨：
2、如图11，若△ABC为等边三角形，D为线段BC上任意一点，∠ADE=60°，DE交∠ACB
的外角平分线CE于E点，求证：AD=DE。
方法1：如图12，延长AC到P，使CP=CE，连结DP。（此方法实质即将△EDC沿BC所
在直线翻折而得到△PDC）。可证△EDC≌△PDC，得DE=DP, ∠E=∠P
∴∠E=∠DAC=∠P
∴ AD=DP=DE
图11 图12
方法2：如图13，延长EC到P，使CP=CA，连结DP、DB。（此方法实质上是将△ADC或△
ABD沿BC所在直线翻折而得到的）。
图13 图14
方法3：如图14，将△ABD绕B点顺时针旋转60°到△CBP的位置，连PD。
证明过程略。（此方法是旋转的简单应用）
在平面几何中,正方形是最特殊的四边形,它集平行四边形、矩形和菱形的性质于一身.
因而在考察学生对四边形知识的掌握情况时,以正方形为背景的题目更具灵活性、代表性和
综合性,因而成为各类命题的热点。
作者：季红娟
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