妙用旋转巧解题
旋转只改变图形的位置,而不改变图形的大小和形状,通过这样的变换可以将题目中的条件相对集中,从而使条件与待求结论之间的关系明朗化,有利于问题的解决。

旋转一般用于等腰三角形、正三角形、正方形和正多边形的图形中,选好旋转中心和旋转角是关键。

现举例说明妙用旋转来巧解问题。

例1 如图(1)所示,p为正三角形abc内的一点,∠apb=109°,∠apc=137°,试说明以ap、bp、cp为边是否能构成一个三角形?若能请说明理由,并求出所构成三角形各个内角的度数。

图(1)
分析:以点b为中心将△apb围绕点
b顺时针旋转60°,那么问题就可以迎刃而解。

解:以点b为中心将△apb围绕点b顺时针旋转60°,得到如图(1)所示的图形,p点的对应点是d点,a点的对应点是c点,并连接pd,所以ap=cd,bp=bd,∠pbd=60°
∴△bpd是等边三角形
∴dp=bp
∴△cpd是以cd(=ap)、dp(=bp)、cp为三边构成的三角形.
即以ap、bp、cp为边能构成一个三角形.
∵△bpd是等边三角形
∴∠bdp=∠bpd=60°
∵∠bdc=∠apb=109°
∴∠pdc=∠bdc-∠bdp=109°-60°=49°
又∵∠bpc=360°-∠apb-∠apc=360°-109°-137°=114°
∴∠cpd=∠bpc-∠bpd=114°-60°=54°
∴∠pcd=180°-∠cpd-∠pdc=180°-54°-49°=77°
评析:本题是利用旋转构造一个以三边为长度的三角形,而不是利用三边的关系来说明三角形的构成的常用方法。

例2 如图(2)所示,p为正方形内任一点,若pa:pb:pc=1:2:3,求∠apb的度数.
图(2)
分析:将△abp绕点b顺时针旋转90°得△cbe,连接pe,把已知条件集中到△pce中,促使问题方便解决。

解:把△abp绕点b顺时针旋转90°得△cbe,连接pe,则△cbe≌△abp.
∴ce=ap,be=bp,∠bec=∠apb, ∠pbe=90°∴∠bep=45°
∵pa:pb:pc=1:2:3
∴设pa=a pb=2a pc=3a
∴ce=a be=2a
∴在rt△pbe中,由勾股定理可以得到
pe2=pb2+be2=(2a)2+(2a)2=8a2
∵pc2=(3a)2=9a2 ce2=a2 ∴pc2=pe2+ce2=(2a)2+(2a)2=8a2 ∵pc2=(3a)2=9a2 ce2=a2 ∴pc=pe2+ce2 ∴∠pec=90°
∴∠bec=∠pec+∠bep=90°+45°=135°
∴∠apb=∠bec=135°,即∠apb的度数是135°。

评析:旋转变换多用在正三角形、正方形等比较规则的图形上,解题时旋转的角度一般以60°、90°等较为常见,将分散的条件利用旋转集中到一起,便于解决问题.
例3 如图(3)所示,四边形abcd中,已知∠bad=∠c=90°,ah⊥bc 于h,且ab=ad,ah=8,求四边形abcd的面积.
图(3)
分析:利用旋转变换,把不规则的图形转化为规则的图形求解.根据已知条件将△abh绕点a逆时针旋转90°,从而得到△ade,且e、d、c三点共线,则原图形的面积等于正方形ahce的面积,问题的解决变得很简单。

解:将△abh绕点a逆时针旋转90°,从而得到△ade,由旋转的性质可知:
△abh≌△ade,ae=ah,∠aed=90°,∠eah=90°,∠ade=∠b.
∵在四边形abcd中,∠bad=∠c=90°∴∠bad+∠c=180°∴∠adc+∠b=180°∴∠adc+∠ade=180°∴e、d、c三点共线∵ah⊥bc 于h,∴∠ahc=90°,则在四边形ahce中,∠ahc=∠c=∠
aed=90°,ah=ae.
∴四边形ahce是正方形.∴正方形abcd的面积=ah2=82=64,即为四边形ahce的面积等于64.
评析:运用旋转变换把不规则的图形转化为规则的图形求解,使
问题变得简单化。

同时求解本题时,应特别注意e、d、c三点共线
的说明,不可忽略。

通过上文我们不难发现巧妙的运用旋转可以给我们解题带来很多方便。

作者单位:江苏省连云港市宁海中学。