现代佶号处理学号：小组组长：小组成员及分工：任课教师：教师所疫学院：信息工程学院2015年11月基于奇畀值分鮮的MVDR方法及其在信号频率估计领城的应用摘要：本丈主要是介绍和验证MVDR的算出，此算岀应用于信号频率估计的领城中。
我们通过使用经典的MVDR算去验证算比的可行性，再通过引用了奇异值分解的思想对MVDR方法进行了孜进，准.脸证这种改进思想的方法可行性肘，我们发现基于这种奇异值分鮮的MVDR 方岀在信号频率估计上具有提壽检测赫度的特性，这色说朗了这种思想＞4应用信号频率估计肘是可行的。
论丈题tl (English丿MVDR method based on singular value decomposition and its application in signal frequency estimation Abstract:In this paper, the algorithm of MVDR is introduced, and the algorithm is applied to the field of signal frequency estimation. By using the classical MVDR algorithm to verify the feasibility of the algorithm, and then through the use of the idea of singular value decomposition to improve the MVDR method, in the verification of the feasibility of the method, we found that the MVDR method based on the singular value decomposition has the characteristics of improving the detection accuracy in signal frequency estimation. It also shows that this idea is feasible in the application of signal frequency estimation.Key words：MVDR method Singular value decomposition Signal frequency estimatio n引t基于奇异值分解的特征提取算岀衣信号与图像处理等方面有着/•泛的应用，国外很多学者色对此进行了丸量的研兜。
奇异值分解在』、咬图像边缘检测中的应用，使得禽敬小波炙换的全局尺度选择更加彖易。
研兜在朗，奇异值分解具有理想的去相关特性，基于奇异值分解的信号分析方法可以对信号进行重构，较好的从背景噪声中分富岀有用信号的特征信息叭研兜表朗，基于奇异值分解的信号特征提取方出的关純在于奇异值特程阶数的选择，如何有效的选取特征值仍是一个有侍研克的问題。
在许多领城，所研死的信号通常後认为是具有各恚禺经性的平稳随机信号，很难用确主的数学关糸无去描述。
随机信号的功率谱能反映信号的频率成分以及各成分的相对强弱，能从频城上掲示信号的节律，是非确是性信号的重要特征。
因此、可采用给定的N个样本数据对相应平稔随机信号的功率谱磁度进行估计，即功率谱估计(Power spectrum estimation)o近年来、基于特征分解功率谱估计方法己经在通信、雷达、导航、声纳、地震、射电天丈和生物医学工程等科枝领城中得到广泛应用。
MVDR (minimum variance distortion response)是J.Capon于1969年研兜地震咬的空间谱肘提出的也称为Capon谱。
1971, Lacoss将该方岀应用于单一肘间梓刃谱估计、并证朗了该方法得出的估计是谱分量的最小方差无偏估计，其思•想是将正孩过程看成是频率未知的确定信号、使该信号通过一个FIR糸统，而嗥声披尽量抑制，该方法症£动语音帜别(ASR)等领城已经得到广泛应用⑵。
1997年ManoharN.Murthi和BhaskerD.Rao首次将其应用到语音信号的谱包络估计中、解决了LP谱对基音周期较壽的轨音信号的频谱估计不准的问題。
和LP谱及FFT能量谱和比、MVDR谱具有更小的方杀，并且在保绪语义信息的同肘对说话人信息有一定的抑制作用、这一特点令基于MVDR谱的MFCC (其余频率例谱糸数丿参数比传统的MFCC洪数灵加适合于关健词檢出。
(基于最小方差无失真响应谱的语音特征提取丿由于奇异值分解的特征提取方法应用的领城越来越/•阔，本丈提岀了一种将奇异值分解的思想应用到MVDR信号频率谱估计的算岀，这种基于奇异值分解的MVDR算出与经典的MVDR算出和比较，具有朗显提爲新度的优点。
在与经典的算冻对比中，我们将观测矩阵进行了修改，从而将谱估计的推导公式也进行了改变。
通过实验仿真和捡证，可以证朗我们的这种方比是具有可行性的。
第一章相关知识及算廉流程1.1名词鮮年MVDR的信号频率谱估计算出的英丈全称是Minimum Variance Distortionless Response,中丈全称是最小方差无夬真响应，通常应用于信号频率估计。
奇异值分解在芷些方面与对称矩阵Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。
然而这两种矩阵分解尽管有其才ei关性，但还是右朗显的不同。
对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任盘矩阵上的推广。
1.2音异值分解的知识介傅1.2.1賀矩阵的文义走义：役Awe"",若A满足A,,A = AA,1 =/ ,则称矩阵A为酉矩阵。
1.2.2夸异值的定义是义：役A e C nxn ,且rankA = r(> 0) <>又设A〃A的特征值为Aj > ・•・》&> &+]=…=& = 0 式2-1则称6 =丽石=1,2,…,n)为A的奇异值。
1.2.3矩阵的夸异值分解走理龙理：设且rankA = r(>0),则存在加阶酉矩阵(/和"阶酉矩阵V • 使得(Y 0、U H AV=. 式2・2(0 0丿其中》= diag(b“b2,…、6).而s(i= 1,2,…")为A的正奇异值。
将式2-2改写为0、A = U V H , 式 2-3（0 0丿则称无2-3为矩阵A 的奇异值分解。
1.2.4矩阵的夸异值分解;t 理的证明证：T& A 11 A 的特征值如无2-1所示，由于A nA 是H ermite 矩阵，所以存在” 阶酉矩阵V ,使得.. fs 2 0）V ,I A I,AV= diag （入，儿，…,人）=式 2-4 0 0；将V 分块为V=（V ；匕）（V 1eC ,,xr ,V 2eC ,,x （,,-r ＞）,式 2-5 将无2-5带入无2-4中，可得V^A li AV } =X\ V^A H AV 2=0,式 2-6 于是进一步进行化简可得S-'V/^^AV^-1 =/f , AV 2=0O式 2-7 i^U { = AVjX -1,由上式知U ；U = ,印匕的广个列向量是两两正交的单伐.向量，^U 2eC mx （m ~n ,使得"=（"U 2） m 阶酉矩阵，即有叽=0, U^U 2 = I,n _r ,则有U U AV = 至此，也就证朗岀一个任盘的”阶方阵一定会有其对应的奇异值分解。
u ；U= o S 0、 0 0,U^AV, U ；{AV 2U^AV { U^AV 2 厂 WfU 玄 0 式2-81.3MVDR谱估计知识介绍1.3.1MVDR幡牯计方出中常用到的标受因數关于向走的样度亦式图2-1 M 轴头的FIR 滤妝器假役滤波器输入信号“⑺）是复正狂信号加令噪声,为VJ(vv) = 2 ——r (c 11w) = 0 d\vA VJ(vv) = 2——(w"c) = 2c d\v VJ(M O = 2 二(w 〃 /?w) = 2Rw d\v2-913.2 MVDR 读次毘療理考虑有M 个权糸教（轴头丿的橫向腮波赛ftransversal filter ）（戎称FIR 腮波器），如下图2」所示。
谑波麥的输入为随机过程x （n ）,输出为Af-ly5) =工 w ；x("—°r-<)^2-10 其中，叫在示橫向谑波容的权糸救。
定义输入信号向量和权向量分别为x(n) = [x(n) 一 1) •…x(n-M +1)]7w = [w° w …W M -J则输出可表示为y(n) = w n x(n) = x 1 (n)w'式 2-11 信号）U ）的平均功率可以表示为P = E{ \ y(n) \2} = E{ w H x(n)x H (n)w} = w n Rw式2J2 其中，矩阵R^W 向量双町的M 维自柏关矩阵，即r(0) r(l) …r(M -1)R = E{x(n)x H (n)}= 心) r(0) 厂(1_M) r(2-M) •… r(M-2)■♦ ■r(0)其中，叩?)是加性勺噪声,匕和叫分别是第&个信号复隅度和角频率。
复隅度 a k =1 a k I e }&＞包舍了正孩信号的振協I aj 和初始相住(p k 。
役感兴趣的期望信号是角频率为叫的复正弦信号，则选择虑咬彖权向量w 应 该遵循的原则是，使复正弦信号R””无夫真地通过谑波容，而尽量抑制其余频率 的信号和噪声。
段信号Q 严通过滤波器的响应为儿S),则y t (n)应为y {(n) = a0Ww ； + 讹厂川+…+匕/5二呂吶⑶“)皿严”何+45： +…+/*%二)定义向量 a(w l ) = [\ 严 所以，当权向量满足w5(wj = l 肘，可使复正往信号冬占即无失真地通过虑波器。
同肘考虑到要使其他复正往信号和噪声尽量彼抑制，虑减器权向量W 应满足：(\)约束屛4(叩=1,这是为了使无夫真地通过滤波乐。
(2)输出平均功率P = w u Rw 最小，达到抑制其他频率信号和嗥声的目的。
连.上面的讨论中，假是了感兴趣的期望信号频率为“1。
考虑更一般的情况， 设期望无失真通过糸统的信号频率为w,且令a(w) = [l e" ... e -jw{M -l,]r，此 肘，腮波器权向量W 应满足这是一个条件极值问題，应用竝格胡目乘子法，构凌代价函数为求梯度并令梯度VJ(vr) = O,根据梯度的预备知识式2・9,可得式2・15式2・16)[(〃)=\v H a(w })a }e JW}n 式2・17式2J8式2J9考虑到柑关矩阵R 是非奇异的，所以有w = 2/?5(VV )式 2-21将上式代入到约束条件w Ha(w) = 1中.并考虑/?的共钝对称性，可解得式2・22于是，满足^2-18的最优权向量为R 」a(w)此肘，将式2・23代入式2-12,得虑波彖的最小输出功率为注盘，/(w)ZTb(w)是正卖数。