一些特殊矩阵的秩等式 引言 矩阵的秩可以利用矩阵的非零子式的阶数定义，也可以利用矩阵的行向量组或列向量组的秩来定义，即： 定义1 设A是数域F上的mn矩阵，称矩阵A不为零的最高阶数为矩阵A的秩. 定义2设A是数域F上的mn矩阵，12,,,m是其行向量组，12,,,n是其列向量组，称向量组12,,,m的秩为A的行秩，向量组12,,,n的秩为A的列秩. 可以证明，对矩阵A，行秩等于列秩.称矩阵A的行秩(列秩)为矩阵A的秩. 记作()rankA. 矩阵的秩是矩阵的一种重要特征，利用矩阵的秩特征，可以讨论矩阵的一些性质.很多特殊矩阵的特征都可以利用秩关系来刻画. 本文将在已有关于矩阵秩关系的基础上，在第一部分主要讨论诸如幂等矩阵、对合矩阵等特殊矩阵的秩等式关系，第二部分则主要讨论矩阵运算下的秩关系. A是矩阵，TA为A的转置矩阵，I为单位矩阵，A为A的伴随矩阵. nI为nn的单位矩阵，nV为n维线性空间.如果矩阵A,BnnC,满足2A=A,2nBI,则分别称A、B为幂等矩阵、对和矩阵.

1 幂等矩阵的秩恒等式 定理1.1[1] n阶矩阵A满足2A=A，则()rankA+()rankIA=n. 证明 （证法一） 设()rankA=r，由2A=A可得()AAI=0， 则()AI的每一个列向量都是以A为系数的方阵的齐次线性方程组的解向量. (i)当r=n时，由于齐次线性方程组只有零解，故此时AI=0， 即此时 ()rankA=n，()rankAI=0，()rankA+()rankAI=n， 结论成立. (ii)当rn时，由于齐次线性方程组的基础解系中含有nr个向量，从而()AI的列向量组的秩nr， 所以有 ()rankA+()rankAIn. 2

另一方面，由于()rankAI=()rankIA， 故有 n=()rankI=()rankAIA ()rankA+()rankIA

=()rankA+()rankAI 从而 ()rankA+()rankAI=n. （证法二）充分性：因为A是幂等矩阵，所以2A=A，于是()AAI=0， 则有 ()rankIA+()rankA()rankIAA=()rankI=n. 且有 ()rankIA+()rankAn 综上得证. 必要性：由于()rankIA+()rankA=n.可设1()IAX=0的解空间为1V,

20AX的解空间为2V,则有12,nVVV 对任意XnV,有 212121()()(),AXXAAXAXAX 得证

2 对合矩阵的秩恒等式 定理2.1[1] n级矩阵A满足2A=I,则()rankIA+()rankIA=n 证明（证法一）设AI=12(,,,),nbbb由2A=I得 ()()AIAI=0, ()0iAIb,1,2,,.in 所以AI的每一列均为()AIx=0的解. ()rankAIn-()rankAI 即 ()rankAI+()rankAIn （2.1） 而由2A=I可知，||A=1或-1，所以||A0，()rankA=n.所以 ()rankAI+()rankAI ()rankAIAI =(2)rankA=n （2.2） 由（2.1）（2.2）式结合得 ()rankIA+()rankIA=n （证法二）充分性 因为A是对合矩阵，所以2A=I， 3

于是 ()()AIAI=0， 则 ()rankAI+()rankAI()()rankAIAI=(2)rankI=n 且有 ()rankIA+()rankAIn 综上得证. 必要性：由于()(),rankIArankIAn可设1()0IAX的解空间为12,()0VAIX

的解空间为2V，则有12nVVV. 对任意nXV， 有 212()AXX12()AAXAX12()AXX12AXAX12XX12()IXX 得证.

3矩阵的满秩分解 定义3.1：设A是秩为(0)r的mn矩阵，若存在mr列满秩矩阵F和rn行满秩矩阵G，使得 AFG (3.1) 则称（3.1）式为矩阵A的满秩分解. 定理3.1 设A的秩为r，且1122AFGFG为矩阵A的两个满秩分解，则 （1）存在r阶的满秩方阵B,使得 11212,;FFBGBG （3.2） （2）证明 11111111()()TTTTGGGFFF11222222()()TTTTGGGFFF （3.3） 证明 （1）因为A有满秩分解112FGFG所以

11221111122TTTTFGGFGGFFGFFG

又 111111()(),()(),TTrankGGrankGrrankFFrankFr 故11TGG与11TFF皆为r阶满秩方阵，故由知 11221112(),TTFFGGGGFB （3.4）

其中12111(),TTBGGGG且1111222().TTGFFFFGCG （3.5） 分别将（3.4）、(3.5)式代入1122,AFGFG 得 2222,FBCGFG 4

即 22222222.TTTTFFBCGGFFGG 从而,BCE即 1CB. （3.6） （2）将（3.2）式代入（3.3）式左端有 11111111()()TTTTGGGFFF 111112122222()(())()TTTTTTTTGBBGGBBFFBBF 11111222222()()()()TTTTTTTTGBBGGBBFFBBF 11222222()().TTTTGGGFFF 即证. 定理3.2 设(0),mnrACr则必有分解式,AQR其中Q是mr矩阵，HQQI,而R是rn矩阵，它的r个行线性无关.其中，HQ为Q的转置共轭矩阵. 证明 作A的满秩分解,AFG 其中,,mrrnrrFCGC知可将F分解1,FQR其中

1R为r阶非奇异矩阵，Q为mr矩阵，且.HQQI于是这里1RRG,它的r行线性无关. 例3.1设A是非零的实对称矩阵，则A为幂等矩阵的充要条件是存在列满秩矩阵F，使得1().TTAFFFF 证明 当1()TTAFFFF时，易知2AA;反之，将A做满秩分解得，.AFG 因为TAA,所以TTAFGGF, 于是存在非奇异矩阵P，使得 ,,TTTGFPAFPF 又因为2AA,即 TTTTTFPFFPFFPF, 等式两边左乘11()()TTTPFFF,右乘1(),TFFF得 TTFFPE, 所以 1()TTPFF,带入1()TAFFF式， 即得 1()TTAFFFF， 证毕.

4 三幂等矩阵的秩特征 定义 如果矩阵,nnAC满足3AA,那么称A为三幂等矩阵. 命题4.1 [6]设,nnAC 则 322()()()()rankArankAArankAArankAA. （4.1） 5

由此式得到了判定矩阵是三幂等的充要条件的秩恒等式，即刻画三幂等矩阵的之特征: 命题4.2[6-8]设,nnAC 则 322()()()AArankArankAArankAA. （4.2） 命题4.3[9]设,nnAC 则 32()()AArankArankEAn. （4.3） 命题4.2、 4.3都可以作为三幂等矩阵判定的充要条件.下面我们在给出一些三幂等矩阵的秩的一些等式， 如： ()()()(),rankEAEArankEAArankEAAn （4.4） ()(),rankArankEAAn （4.5） ()(),rankEArankEAAn （4.6） ()(),rankEArankEAAn (4.7) ()()()2rankArankEArankEAn (4.8) 22()()().rankArankEAAnrankA （4.9) 由（4.3）和（4.9）得出: 222()()()rankEAArankEArankA (4.10) 4.1 矩阵A的两个多项式秩的和的恒等式 定理4.1 设,(),(),nnACfxgxPx则 (())(())(())(())rankfArankgArankdArankmA (4.11) 当((),())()1fxgxdx时，由定理4.1可得到[9,定理3],若还有()()0fAgA,那么还可得到[11,定理1]. 定理4.1是我们最近得到的矩阵A的多项式秩的一个恒等式，且恒等式（4.11）还有许多其他的应用. 例4.1 设22(),(),fxxxgxxx 从3()((),()),()(),()dxfxgxxmxfxgxxx和定理4.1可知秩恒等式（4.1）成立，进而可得命题4.2. 例4.2当2(),()1,fxxgxx由3((),())1,((),())fxgxfxgxxx和定理4.1得命题4.3. 4.2 关于三幂等矩阵秩的等式的进一步讨论