1
矩阵秩的基本不等式
定理1：设,m n A R ∈，,n s B R ∈，则{}()()()min (),()r A r B n r AB r A r B +-≤≤。

证明：由于0Bx =的解一定是0ABx =的解，因此0Bx =的基础解系为0ABx =的基础解系的一部分。

于是，()()s r B s r AB -≤-，即()()r AB r B ≤。

()()()()()()T T T T r AB r AB r B A r A r A ==≤=。

这样，我们就证明了()()r AB r A ≤，()()r AB r B ≤，故{}()min (),()r AB r A r B ≤。

我们假设1x ，2x ，……，()s r B x -，()1s r B x -+，……，()s r AB x -为0ABx =的基础解系。

其中，0i Bx =，1()i s r B ≤≤-；0j Bx ≠，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。

下面，我们来证明向量组{}
()()1
s r AB j j s r B Bx -=-+是线性无关的。

事实上，假设数j k ，
()1()s r B j s r AB -+≤≤-，使得
()()1
()s r AB j j j s r B k Bx -=-+∑
，于是()
()1
0s r AB j j s r B B
x -=-+=∑。

这样，
()
()1
0s r AB j j s r B x -=-+=∑
为0Bx =的解。

于是，存在数j k ，1()j s r B ≤≤-，使得
()()
()1
1
()s r AB s r B j j j
j s r B j x k x --=-+==
-∑
∑，即()1
0s r AB j j j k x -==∑。

由于向量组{}
()1
s r AB j j x -=线性无关，因
此，0j k =，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。

于是，向量组{}()
()1
s r AB j j s r B Bx -=-+线性无关。

又由于()0j j A Bx ABx ==，()1()s r B j s r AB -+≤≤-，因此{}()
()1
s r AB j j s r B Bx -=-+为
0Ax =的基础解系的一部分。

于是，
[]()()11()()()s r AB s r B r B r AB n r A ---++=-≤- 即()()()r AB r A r B n ≥+-。

推论1：若,m n A R ∈，,n s B R ∈满足0AB =，则()()r A r B n +≤。

证明：0()()()r AB r A r B n =≥+-，于是()()r A r B n +≤。