H0 : 1 2 r H1 : 1 , 2 ,, r , 不全相等
由于X ij 相互独立，且
(1)
X ij ~ N (i , 2 )
j 1, 2,, ni ; i 1, 2,, r.
若记
ij X ij i
( j 1,2,, ni ; i 1,2,, r )
在实践中 , 影响一个事物的因素往往是很多的 ,
人们总是要通过试验, 观察各种因素的影响. 例如:不
同型号的机器 , 不同的原材料、不同的技术人员以
及不同的操作方法等等 , 对产品的产量、性能都会 有影响. 当然, 有的因素影响大, 有的因素影响小, 有 的因素可以控制, 有的因素不能控制. 如果从多种可 控制因素中找出主要因素 , 通过对主要因素的控制、
2 r ni 2
j 1
＝ ( X ij X i ) ( X i X )
i 1 j 1 i 1 j 1
ni

QE
（组内离差）

QA
（组间离差）
QE QA
QA＝ ( X i X )2＝ ni ( X i X )2 组间离差
i 1 j 1 i 1
2
则
ij ~ N (0, ), 且相互独立
X ij i ij ij ~ N (0, 2 ) ij 相互独立 其中 j 1, 2,, ni j 1, 2,, r
其中 i 与 2 均为未知参数。 式（2）称为单因素方差分析的数学模型。
r
ni
r
反映 Ai 水平下的子样均值与总平均值之间的差异, 叫水平Ai 效应的平方和
QE ( X ij X i )2 组内离差
i 1 j 1
r
ni
反映Ai 水平下的子样均值与样本值之间的差异,它 是由随机误差引起的, 叫误差平方和.
总离差平方和的分解为：
QT QE QA
r
r
i 1
i 1
r
2
2
( r 1) ni 2 ni i ni n
2 2
r
r
r
( r 1) ni .
2 i 1 2 i
i 1 r
i 1
i 1
2 i
2

r
n
i 1 i
r
i
0
即
E (QA ) ( r 1) 2 ni i2 .
i 1
r
QT QE QA
E (QT ) ( n 1) 2 ni i2 .
i 1 r
若 H 0 : 1 2 r
则X ij ~ N ( , )且相互独立.
2
nj
2
QT

2 ( X X ) ij j 1 i 1
s
2
2
2 (n 1)
都在同一块田的五个小区各做一次实验，实验结 果如下表所示。 品种
A1
A2
A3 A4
32.3 33.3 30.8 29.3
产量（斤/小区） 34.0 34.3 35.0 33.0 36.3 36.8 34.3 35.3 32.3 26.0 29.8 28.0
36.5 34.5 35.8 29.8
试问不同品种对玉米的平均产量是否有显著影响？


QA
2
H0
~ ( r 1)
2
QA的自由度为r-1.
即：若 H 0 : 1 2 r 0 成立时，
2
QE QT ~ ( n 1), 2 ~ ( n r ), 2 ~ ( r 1).
2
2
取统计量 F QE /( n r ) 2
方差分析的任务：检验线性统计模型 () 中的各i的相等性，即有 个总体 i
H 0 : 1 2 r H 1 : i j （1.2） 至少有一对i , j
i i 等价假设：
H 0 : 1 2 r =0 ' （1.2） H 1 : i 0至少i
E (QE ) ( n r ) , E (QT ) ( n 1) 2 .
QA与QE 相互独立.
QA与QE 相互独立，QT QA QE
2 2 2 QT ~ 2 ( n 1), 2 QE 2 ~ ( n r ), 2 QT QA QE
X
j 1
ni
ij


i 1 r i 1
( Xi X )

j 1 ni
ni
( X ij X i ) ni X i ) 0
X
j 1
ni
ij
ni X i 0
(X
i
X )(
X
j 1

ij
总离差平方和分解为
QT

i 1
r
r
ni
( X ij X )2
r
ni
QA = ( X i X ) ni ( X i X )
2 i 1 j 1 r i 1
r
ni
r
2
= ni X i2 nX 2
i 1
E (QA ) E ( ni X nX ) ni E ( X ) nE ( X 2 )
2 i 2 2 i i 1 i 1
i 1
QE ( X ij X i ) ,
2 i 1 j 1
r ni
r
ni
E (QE ) ( n r ) .
2
r
QA = ( X i X )2 ni ( X i X )2
i 1 j 1 i 1
E (QA ) ( r 1) 2 ni i2 .
材料批号 1 2 3 寿命测定值（单位：小时） 1600 1610 1650 1680 1700 1700 1800 1580 1640 1640 1700 1750 1460 1550 1600 1620 1640 1660 1740 1820
试问测试结果是否说明这批电子管的寿命有明显差异？
例2 设对四种玉米品种进行对比实验，每个品种
表 5.1
水平
A1 A2 A3
X11 X 21 X 31
样
X12 X 22 X 32
本
X1n1 X 2n2 X 3n3
样本均值
X1 X2 X3 Xr

Ar

X r1

Xr2


X rnr
1 Xi ni
X
j 1
ni
ij
, i 1, 2,, r .
要判断因素的各水平间是否有显著差异，也就是 要 判断各正态总体的均值是否相等，即检验假设
(2)
再令
1 r ni i n i 1 i i
n ni
i 1
r
(3)
则μ是各水平下总体均值的加权平均，称为总平均值； 这个差异称为 Ai 的效应， 它满足
i 代表了第i水平下的总体均值与平均值的差异，
n
i 1 i
r
i
0
(4)
由式(2),(3)可以得到单因素方差分析的等价数学模型
X4 X
X2
X1

A4(X4)

X 41
X4
X
A1(X1)
A2(X2)
A3
总离差平方和为
QT
＝
(X
i 1
r
r
ni
ij
X)
2
j 1
全部数据与总平均之间的 差异,又叫总变差
分解

i 1 j 1
ni
[( X ij X i ) ( X i X )]2
＝

i 1 j 1
检验此假设的问题就是方差分析.
1. 总离差平方和的分解
记在水平Ai下的样本看作一组，记组内平均为
1 Xi ni
样本总平均
X
j 1
ni
ni
ij
1 r X n i 1
r
1 r X ij＝ ni X i , n i 1 j 1
其中n ni
i 1
X 41 X 4
r
ni
( X ij X i )2
ni ij

i 1 j 1
r
ni
( X i X )2
＋2
( X
i 1 j 1
r
X i )( X i X )
下面证明交叉项为0，因为

i 1 r j 1
r
ni
( X ij X i )( X i X )
1 Xi ni
X ij i ij , i 1,2, , r ; j 1,2, , ni r 2 ~ N (0, )且相互立, ni i 0. ij i 1
(5)
式(5)表明：样本由总平均值μ 因素的水平效应αi 随机误差εij三部分叠加而成。 因而式(5)也称为线性可加模型。
i 1 j 1 r i 1
r
ni
r
= ni X nX
i 1 2 i
2
1 r X ni X i n i 1
r 1 X X ij , 其中n ni . 所以 n i 1 j 1 i 1
2 1 r 1 r E ( X ) ni i , D( X ) 2 ni 2 . n i 1 n i 1 n
QE, QA 的统计特性