三维波动方程正演及模型应用研究1熊晓军，贺振华，黄德济成都理工大学油气藏地质与开发工程国家重点实验室（610059）E-mail:xiongxiaojun@摘 要：为了真实准确地反映三维地质体的波场特征，在频率-波数域将二维波场延拓算子推广到三维空间，采用三维波动方程延拓方法实现了三维地质模型的快速叠后正演。

该方法采用傅立叶变换进行计算不仅计算迅速，算法稳定，而且可以采用相位移加插值方法处理一定的横向变速的情况，为更加灵活方便地模拟地下复杂的三维地质体提供了一种有效的工具。

作为实例，首先进行了三维French 模型的数值模拟，得到了和实际物理模型实验结果相一致的正演记录，并对比分析了三维偏移剖面和二维偏移剖面的偏移效果，验证了该方法的正确性和适用性。

然后进行了三维缝洞地质模型的正演计算，得到了高信噪比的正演记录，对认识和解释三维缝洞地质体的地震波场特征很有帮助。

关键词：三维地震正演，波动方程，波场延拓，French 模型，缝洞模拟1. 引 言在地震资料采集、处理和解释中通常要进行地震波场的数值模拟，即假设已知地下的地质情况，应用地震波的运动学和动力学的基本原理，计算给定地质模型的地震响应，其对正确认识地震波的运动学和动力学特征，以及准确地分析油气藏的反射波场特征有着重要的指导意义。

常规的正演方法主要有波动方程法和几何射线法两大类[1]。

几何射线法[2]将地震波波动理论简化为射线理论，主要考虑地震波传播的运动学特征，所得的地震波的传播时间比较准确，但是计算结果很难保持地震波的动力学特征，而且对复杂的地质构造会出现盲区。

波动方程法通过求解地震波波动方程，建立地下地震波运动的波场，它包含了地震波传播的所有信息，在地震模拟中占有重要地位。

目前，常规的波动方程正演方法，如有限差分法[3]、积分法[4]以及F-K 域[5]等方法，主要进行二维地质体的数值模拟，而实际的地下构造往往是三维的，因此，十分有必要研究基于三维地质体的数值模拟方法。

本文在二维正演方法的基础上，将二维波场延拓算子推广到三维空间，在频率—波数域进行三维叠后正演模拟。

该方法不仅算法稳定，计算速度快，具有处理一定横向变速的能力，而且可以得到高信噪比的零偏移距正演记录。

2. 方法原理利用波动方程进行地震波场数值模拟的核心是波场延拓，对于垂向变速介质，利用二维标量波动方程，在频率—波数域可以得到各个深度间隔内的相位移延拓的正演和偏移公式[6]， i zi Z ik i x i x e z k P z k P ∆+=),,(),,(1ωω (1)i zi Z ik i x i x e z k P z k P ∆−+=),,(),,(1ωω (2)1 本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金资助课题（SRFDP ）资助，编号：20040616001。

- 1 -)1(22222ωωv k v k x zi −= (3)其中式(1)为二维正演延拓公式，其延拓方向为由下至上，式(2)为二维偏移延拓公式，其延拓方向为由地面向下延拓。

式中表示x k x 方向的波数，表示深度间隔i 内在方向的波数，zi k z ω表示频率，表示当前深度延拓的深度间隔。

z ∆ 本文在上面的二维波场延拓公式的基础上，采用三维波动方程进行计算，将二维波场延拓算子推广到三维空间，得到了以下的垂向变速的三维地质体的正演和偏移成像的波场延拓公式，i zi Z ik i y x i y x e z k k P z k k P ∆+='),,,(),,,(1ωω (4)i zi Z ik i y x i y x e z k k P z k k P ∆−+='),,,(),,,(1ωω (5)))(1(222222'ωωv k k v k y x zi +−= (6)其中式(4)为三维正演延拓公式，(5)为三维偏移延拓公式。

式中表示方向的波数，表示深度间隔i 内在方向的波数。

y k y 'zi k z 当速度横向变换时，本文采用了Gazdag 等人提出的相位移加插值方法[7]的思想，在三维空间选取三个参考速度进行拉格朗日插值计算，这样使该方法具有了更大的适用性。

3. 理论模型计算3.1三维French 模型为了检验本文提出的方法的正确性，我们进行了三维French 模型的数值模拟计算。

为了与原物理模型（参见附图1， French ，1974）有所区别，在原物理模型的上部施加了一个水平层。

图1（a ）是本文采用的French 模型和自激自收的观测系统。

该模型共包含6个地质体，“1”代表自上往下的第一个水平界面，“2”代表自上往下的第二个水平界面，“3”代表自上往下的第三个水平界面，“4”代表斜面，“5”和“6”分别代表两个大小和形态都相同的穹隆。

本次采用的自激自收的观测系统共有128条测线，每条测线包含128个检波点。

图1（b ）是去除第一个水平界面后的平面图，在该图上添加了观测系统的线道号。

图1（c ）是相应的速度模型，为一沿x 方向的垂直切片。

对于穹隆5和6，它们的速度都是3000m/s. 图2是第39号测线的时间剖面图，图中仅包含有一次反射波和绕射波。

从图2（a ）可以看到，似乎L39通过了两个穹隆的近顶部，但是从图1（b ）可以看到，L39仅通过代号为“6”的穹隆。

图2（b ）是该条测线的三维偏移剖面，其实现了正确的偏移归位，这也证明了本文提出的三维波动方程正演方法的正确性。

此外，为了说明三维偏移的效果，我们还对L39的正演记录进行了二维偏移，如图2（c ）所示，图中显示了两个穹隆，与实际不符合，这就造成了解释陷阱。

- 2 -（a）French模型和观测系统（b）去除水平界面1的平面图（c）速度模型，其中穹隆5和6的速度都为3000m/s图1 用于计算的三维模型（a）L39的三维正演记录- 3 -（b）L39的频率—波数域三维波动方程偏移记录（c）L39的频率—波数域二维波动方程偏移记录图2 Line 39的时间剖面图3.2三维French模型（a）三维洞穴模型（b）经过洞穴的水平切片（c）速度模型，其中洞穴体的速度为1000m/s图3 简单的三维洞穴模型图3是一个简化的三维缝洞模型，它采用和图1（a）相同的自激自收观测系统，共有128条测线，每条测线包含128个检波点。

图3（a）由三个地质体组成，“1”代表至上往下的- 4 -第一个水平层界面，“2”代表自上往下的第二个水平层界面，“3”代表位于两个水平层界面之间的洞穴体。

图3（b）是一个经过洞穴体的水平切片，并在该图上标识了观测系统的线道号。

图3（c）是与该三维缝洞模型对应的速度模型，其中洞穴体的速度为1000m/s。

图4（a）是第64号测线的三维正演记录，从图中可以清楚的观察洞穴引起的绕射波和反射波的特征及其影响范围，如CDP45~CDP85之间的圆弧所示。

此外，图中CDP64附近出现了多个强的绕射同相轴，可以解释为洞穴体的其它绕射点综合影响的结果。

图4（b）是第64号测线的三维偏移记录，图中的绕射全部正确归位，缝洞体的形态十分清晰。

图4（c）是第64号测线的反射系数剖面。

通过对比图4（b）和图4(c)，我们验证了本文采用的三维正演和偏移方法的正确性，同时也说明采用该方法进行缝洞地质体识别和研究的可行性。

（a）L64的三维正演记录（b）L64的频率—波数域三维波动方程偏移记录（c）L64的反射系数剖面图4 Line 64的时间剖面图4. 结束语通过理论模型计算的结果表明，本文采用的三维波动方程正演方法是一种切实可行的数- 5 -值模拟方法。

该方法不仅计算速度快，算法稳定，而且可以处理一定的横向变速的情况，具有很大的适用性。

其得到的正演记录仅包含了地震波的反射和绕射特征，信噪比高，而且能够通过常规的偏移方法实现其正确的偏移归位，为今后进一步研究缝洞储层的地震波场响应以及检测和识别缝洞地质体提供了一种新的思路和有效的工具。

参考文献[1] 张永刚. 地震波场数值模拟方法.石油物探，42： 143~148. 2003[2] 张钋，刘洪，李幼铭.射线追踪方法的发展现状.地球物理学进展， 15：36~45. 2000[3] 陈伟. 起伏地表条件下二维地震波场的数值模拟.勘探地球物理进展，42： 26~31. 2005[4] 贺振华，《反射地震资料偏移处理与反演方法》，重庆：重庆大学出版社,1989.5[5] 熊小兵，贺振华.相位移加有限差分法波动方程正演模拟.石油物探，37：22~28. 1998[6] Lai J, Gardner G H. Forward modeling using the PSPI method. Seismic acoustic laboratory, Annual progressreview, 14: 271~300, 1984[7] Gazdag J F, Sguazzero P. Migration of seismic data by phase shift plus interpolation. Geophysics, 49:124~131,19823-D wave equation forward modelingand its application of modelsXiaoJun XIONG ZhenHua HE DeJi HUANG State Key Lab. of Oil and Gas Reservoir Geology and Exploration, Chengdu University ofTechnology, Chengdu 610059, ChinaAbstractTo correctly study the characters of 3D seismic wave-field, the paper extends 2D wave-field extrapolating operator to 3D space in F-K domain, and applies 3D wave equation to realize fast post-stack forward modeling of 3D geologic body. The method has fast calculating efficiency by FFT, stabile algorithm and can handle variable velocity in landscape orientation by PSPI, so it provides a new effective tool for conveniently simulating complex 3D underground geologic body. As the examples, the paper firstly simulates 3D French model, which can get the same results as practical physical model, and tests its correctness and applicability by contrastively analyzing the migrated profiles of 3D and 2D. Then the paper simulates the 3-D geological fractured model and gets its seismic profiles with high S/N, which is helpful for us to recognize and explain the characters of the model’s seismic wave-field.Keywords: 3-D seismic forward modeling, wave equation, wave-field extrapolation, fractured simulation, French mode作者简介：熊晓军，男。