令
w = ∫ ∑ G ( x g , z g , t x ' , z ' , t ) u n ( x g , z g , t ) − u n ( x g , z g , t ) dt . .. .(3-13)
g
(
)
= ∫ dt ∑ ∫∫ G( x, z, t | x′, z′, t ′) u ( x, z, t ) − u ( x, z, t )
Ω
~ ( M , ω ) 得： 上是两端加 u 0
~( M , ω ) = u ~ ( M , ω ) + k 2 α ( M ′)G ( M , M ′, ω )u ~( M ′, ω )dM ′ u 0 ∫
Ω
Born 近似反演方法
~( M , ω ) 的第二类 Fredholm 积分方程，由此可确 当 α ( M ) 给定时，(7.9)为关于 u
∂ 2 u ′ ( x ′, z ′, t ′ ) d x ′d z ′d t ′ ∂ t ′2
⋅ (u n ( x g , z g , t ) − u r ( x g , z g , t ) ) = ⋅∫
∫∫ δ c ( x ′, z ′ )d x ′d z ′ ∫ 2 ∑ G (x
g g
=
dt u′( xg , z g , t ) − u n ( xg , z g , t ) ·( u′( xg , z g , t ) + u n ( xg , z g , t ) − 2u r ( xg , z g , t ) )
略去高阶项 J (c n + δ c ) − J (c n )
= 2∑ ∫ dt (δ u ( xg , z g , t ) ) ( u n ( xg , z g , t ) − u r ( xg , z g , t ) )
2
∆2 u =
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
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Born 近似反演方法
两端关于 t 做 Fourier 变换，得：
2 ω 2 ~ ~ ∆ + u (M ,ω ) = f (M ,ω ) 2 C (M )
F ( f ′(t )) = iωF ( f ( t ))
定总场，此即波场的正问题。 在常背景场的情况下，C0 =常数，此时 Green 函数可以解析地求得，在变背 景常的情况下，可以用数值算法求得。
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Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱrn 近似反演方法
在弱散射情况下，对(7.9)式做 Born 近似：
~( M , ω ) = u ~ (M ,ω ) u 0
则得到：
波动方程反演的梯度法
在二维介质中，波的传播可用如下二维声波方程来描述
∂ 2u ∂ + ∂ x2 ∂
2u 1 ∂ 2u − = f (t)δ (xs − x)δ (zs − z) z2 v2(x, z) ∂ t2
（3-1）
其中，u(x,z,t)是位移波场，v(x,z)是介质中(x,z)点的速度，f(t) 是震源函数 （f(t)=0,t<0）, ( x z , z s ) 为震源坐标。这样，给定炮点位置，利用有限差分 正演方法求解上述方程，可求得任意一点上的地震记录。
这里 k =
(∆
2
Born 近似反演方法
定义散射场
~ (M ,ω ) = u ~( M , ω ) − u ~ (M ,ω ) u s 0
(7.4)式减(7.5)式得
(∆
2
~ ( M , ω ) = −k 2α ( M )u ~( M , ω ) + k 2 )u s
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Born 近似反演方法
Born 近似反演方法
称
1 为波慢度，假设它可以表示为 C (M )
2
1 1 = 2 (1 + α ( M )) C ( M ) C0 ( M )
2
C0 ( M ) 为背景场的速度，它是真实速度的光滑近似，是已知量，因此，α ( M )
是一个很小的参量，称为速度摄动参数，如果我们能求出 α ( M ) ，问题就解决 了，
2
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Born 近似反演方法
为此将(7.3)代入(7.2)得到
(∆
2
~( M , ω ) = − k 2α ( M )u ~( M , ω ) + ~ + k 2 )u f (M ,ω ) ω ~ 是介质背景场中的波场，即满足方程： ，设 u 0 C0 ~ (M ,ω ) = ~ + k 2 )u f (M ,ω ) 0
~ ( M , ω ) = k 2α ( M ′)G( M , M ′, ω )u ~ ( M ′, ω )dM ′ u s 0 ∫
Ω
Born 近似反演方法
在此式中令
M = M r (接收点) ~( M , ω ) 是已知的地震记录，于是得到第一类 Fredholm 积分方程 由于 u r
~ ( M , ω ) = k 2 G ( M , M ′, ω )u ~ ( M ′, ω )α ( M ′)dM ′ u s r r 0 ∫
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波动方程反演的梯度法
J (c n + δ c ) − J (c n )
=
u ( xg , zg , t) − u ( xg , zg , t)
r 2
∑ ∫ d t ( u ′( x
g
g
, zg , t) − u r ( xg , zg , t)) −
2
r 2
∑ ∫ dt
g
u n ( xg , zg , t) − u r ( xg , zg , t)
由(3-8)和(3-9)得
. . (3-9)
∂ 2δ u ∂ 2δ u ∂ 2δ u ∂ 2u ′ + − cn =δc 2 2 2 2 ∂x ∂z ∂t ∂t
δ u = ∫∫∫ G ( x, z , t | x′, z ′, t ′)δ c( x′, z ′) ∂ 2u ′( x′, z ′, t ′) dx′dz ′dt ′ ∂ t ′2
u r ( xg , z g , t )
求 c ( x, z ) ，其中 (x g , z g ) ，g=1,2,...n。是
接收点的坐标，n 是接收点的个数。
波动方程反演的梯度法
采用迭代的方法，设 c 0 为初始模型， c n ( x , z ) 为第 n 步的迭代结果， 本文 的 目 的就是 在初 始 条件 c 0 下， 逐步 迭 代 ， 使 c n ( x , z ) → c ( x , z ) ，
∂ 2 u ′ ( x ′, z ′, t ′ ) dt′ ∂ t ′2 .. . (3-12)
, z g , t | x ′, z ′, t ′ ) ( u n ( x g , z g , t ) − u r ( x g , z g , t ) )d t
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波动方程反演的梯度法
(3-11)
波动方程反演的梯度法
J (c n + δ c ) − J (c n ) = 2∑
g
∫ d t (δ u ( x

g
, z g , t ) ) (u n ( x g , z g , t ) − u r ( x g , z g , t ) )
= 2∑
g
∫ dt ∫∫∫ G ( x
g
, z g , t | x ′, z ′, t ′ ) δ c ( x ′, z ′ )
2
∑ ∫ dt
g
−
∑ ∫ d t (u
g
n
( xg , zg , t ) − u ( xg , zg , t ) )
g
=
∑ ∫ d t (u ′( x
g
, z g , t ) − u n ( x g , z g , t ) )( u ′ ( x g , z g , t ) + u n ( x g , z g , t ) − 2 u r ( x g , z g , t )
g
.. (3-7)
波动方程反演的梯度法
下面推导 δ u ( xg , z g , t ) 的表达式: . (3-8)
2 n ∂ 2u n ∂ 2u n n ∂ u + − c = f (t )δ ( xs − x)δ ( z s − z ) ∂ x2 ∂ z2 ∂ t2
∂ 2 u ′ ∂ 2u ′ ∂ 2u ′ ′ + − c = f (t )δ ( xs − x)δ ( zs − z ) ∂ x2 ∂ z 2 ∂ t2
由泛函强导数的定义： J (c + δc ) − J (c ) = ∫∫ . (3-4)
波动方程反演的梯度法
在 c n ( x, z ) 点的梯度 ∂J (c n ) 定义为： ∂c ∂J (c n ) δcdxdz + ο (δc) ∂c (3-5)
J (c n + δc) − J (c n ) = ∫∫ 令 设
g
( x − x ) ( z − z )dxdz
= dt
G( x, z, t | x′, z′, t ′) ( u n ( x, z, t ) − u r ( x, z, t ) ) δ ( x − xg )δ ( z − z g )dxdz w( x′, z′, −t ′) = ∫ dt ∫∫ G( x′, z′, t ′ | x, z, t )
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Born 近似反演方法
王守东
Born 近似反演方法
考虑如下变系数波动方程
∆2 u =