第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。

一、二阶矩阵 1.矩阵的概念①OP → (2, 3)，将→的坐标排成一列，并简记为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3初赛 复赛 甲 80 90 乙8688③概念一：象⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 80908688⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍：①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。

②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。

③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行）④列矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 21 （仅有一列）⑤向量a →＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的形式。

练习1：1.已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243x A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,,2.设23x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2m n x y B x y m n ++⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若A=B ，求x,y,m,n 的值。

概念二：由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦称为二阶矩阵。

a,b,c,d 称为矩阵的元素。

①零矩阵：所有元素均为0，即0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为0。

②二阶单位矩阵：1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为E 2. 二、二阶矩阵与平面向量的乘法2 3 m 3 －2 4 y x 2 3OP (2, 3) — 2 — 3— ⎣⎢⎡⎦⎥⎤80 9086 88231,3242x y mz x y z ++=⎧⎨-+=⎩简记为23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦定义：规定二阶矩阵A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，与向量x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的乘积为ax by A cx dy α→+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦，即A α→＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ax by cx dy +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦练习2：1.（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-131021＝ （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-311021＝2.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2101⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 三、二阶矩阵与线性变换 1.旋转变换问题1:P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o得到P ’(x ’,y’),称P ’为P 在此旋转变换作用下的象。

其结果为''x xy y⎧=-⎨=-⎩，也可以表示为''00x x y y x y ⎧=-+⋅⎨=⋅-⎩，即''x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1001-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ＝x y -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦怎么算出来的？问题2. P （x,y ）绕原点逆时针旋转30o 得到P ’(x ’,y ’),试完成以下任务①写出象P ’； ②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式.问题3.把问题2中的旋转30o改为旋转α角，其结果又如何？2.反射变换定义：把平面上任意一点P 对应到它关于直线l 的对称点P ’的线性变换叫做关于直线l 的反射。

研究：P （x,y ）关于x 轴的反射变换下的象P ’(x ’,y ’)的坐标公式与二阶矩阵。

3.伸缩变换定义：将每个点的横坐标变为原来的1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍，（1k 、2k 均不为0），这样的几何变换为伸缩变换。

试分别研究以下问题：①.将平面内每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.②. 将每个点的横坐标变为原来的1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.4.投影变换定义：将平面上每个点P 对应到它在直线l 上的投影P ’（即垂足），这个变换称为关于直线l 的投影变换。

研究：P （x,y ）在x 轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。

5.切变变换定义：将每一点P （x,y ）沿着与x 轴平行的方向平移ky 个单位，称为平行于x 轴的切变变换。

将每一点P （x,y ）沿着与y 轴平行的方向平移kx 个单位，称为平行于y 轴的切变变换。

研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。

练习：P 10 1.2.3.4四、简单应用1.设矩阵A=1001-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求点P(2,2)在A 所对应的线性变换下的象。

练习：P 13 1.2.3.4.5【第一讲.作业】1.关于x 轴的反射变换对应的二阶矩阵是2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o的旋转变换对应的二阶矩阵是3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是4.平面内的一种线性变换使抛物线2y x =的焦点变为直线y=x 上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是5.平面上一点A 先作关于x 轴的反射变换，得到点A 1,在把A 1绕原点逆时针旋转180o，得到点A 2，若存在一种反射变换同样可以使A 变为A 2，则该反射变换对应的二阶矩阵是6.P （1，2）经过平行于y 轴的切变变换后变为点P 1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为7. 设121x A x y ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2242z x B x ⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦，且A=B.则x ＝ 8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x 的正投影变换对应的矩阵为9.在矩阵1221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为 10.已知点A （2，－1），B （－2，3），则向量AB →在矩阵11202⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦对应的线性变换下得到的向量坐标为 11.向量a →在矩阵1201A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的作用下变为与向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦平行的单位向量，则a →＝12.已知15234A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦，a →＝12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，b →＝34⎡⎤⎢⎥⎣⎦，设a b α→→→=+，a b β→→→=-，①求A α→，A β→；13.已知1012A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，a →＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，b →＝1x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若A a →与A b →的夹角为135o，求x.14.一种线性变换对应的矩阵为1010⎡⎤⎢⎥-⎣⎦。

①若点A 在该线性变换作用下的像为（5，－5）,求电A 的坐标；②解释该线性变换的几何意义。

15.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为01102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

求①点A （1/5,3）在该变换作用下的像；②圆221x y +=上任意一点00(,)P x y 在该变换作用下的像。

答案：1.1001⎛⎫ ⎪-⎝⎭2. 12122⎛- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭3. 360oR 4.00a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5.1001-⎛⎫ ⎪⎝⎭6.''2x xy x y ⎧=⎨=-+⎩ 7.－1 8. 11221122⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 9.（0，5） 10.（2，8）11.22⎛⎝⎭，22⎛- - ⎝⎭12.718-⎛⎫ ⎪-⎝⎭、194⎛⎫ ⎪-⎝⎭13.ｘ＝2/3 14.(5,y) 15. 1532⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,2o ox y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭第二讲 线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法一、数乘平面向量与平面向量的加法运算1.数乘平面向量：设x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，λ是任意一个实数，则x y λλαλ→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2.平面向量的加法：设11x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，22x y β→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1212x x y y αβ→→+⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦性质1：设A 是一个二阶矩阵，,αβ→→是平面上的任意两个向量，λ是任意一个实数，则①数乘结合律：()A A λαλα→→=；②分配律：()A A A αβαβ→→→→+=+【探究1】对以上的性质进行证明，并且说明其几何意义。

二、直线在线性变换下的图形研究y kx b =+分别在以下变换下的像所形成的图形。

①伸缩变换：1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦②旋转变换：12122⎤-⎥⎢⎢⎢⎣⎦ ③切变变换：1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦④特别地：直线x=a 关于x 轴的投影变换？性质2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成 . （证明见课本P 19）三、平面图形在线性变换下的像所形成的图形分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形。

① 恒等变换：1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦②旋转变换：cos sin sin cos αααα-⎡⎤⎢⎥⎣⎦③切变变换：101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦④反射变换：1001⎡⎤⎢⎥-⎣⎦⑤投影变换：1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦【练习：P 27】 【应用】试研究函数1y x =在旋转变换2222-⎥⎥⎥⎣⎦作用下得到的新曲线的方程。

四、复合变换与二阶矩阵的乘法1.研究任意向量x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦先在旋转变换30o R：12212⎤-⎥⎢⎢⎢⎣作用，再经过切变变换ρ：1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用的向量''x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.二阶矩阵的乘积定义：设矩阵A ＝1111a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ＝2222a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则A 与B 的乘积AB ＝1111a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝【应用】1.计算⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤11-⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤10＝2.A ＝cos sin αα⎡⎢⎣ -sin cos αα⎤⎥⎦，B ＝cos sin ββ⎡⎢⎣ -sin cos ββ⎤⎥⎦，求AB3.求13α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在经过切变变换σ：A=1021⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，及切变变换ρ：B=1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦两次变换后的像β→。

4.设压缩变换σ：A ＝10210⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，旋转变换90o R ：B ＝0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，将两个变换进行复合σ⋅90o R ，①求向量23α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在复合变换下的像；②求x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在复合变换下的像；③在复合变换下单位正方形变成什么图形？5.试研究椭圆22134x y +=①伸缩变换：0.5001⎡⎤⎢⎥⎣⎦②旋转变换：12122⎤-⎥⎢⎢⎢⎣⎦；③切变变换：1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④反射变换：1001⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；⑤投影变换：1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦五种变换作用下的新曲线方程。

进一步研究在④②，①④等变换下的新曲线方程。

【练习：P 35】【第二讲.作业】A.B.C.D.1.下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是（ ） A.反射变换 B.投影变换 C.切变变换 D.伸缩变换2. 在切变变换ρ：1021⎡⎤⎢⎥-⎣⎦作用下，直线y=2x-1变为 3. 在A ＝0.5121-⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下，直线l 变为y=-2x-3,则直线l 为 4.在1010⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的线性边变换作用下，椭圆22124x y +=变为5.已知平面内矩形区域为12x i x j →→+（0≤x 1≤1,0≤x 2≤2）,若一个线性变换将该矩形变为正方形区域，则该线性变换对应的矩阵为6.将椭圆22134x y +=绕原点顺时针旋转45ｏ后得到新的椭圆方程为 7.在1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的线性边变换作用下，圆(x+1)2+(y+1)2=1变为 8.计算： ①1324⎛⎫⎪⎝⎭1104-⎛⎫⎪⎝⎭＝ ②2111⎛⎫ ⎪⎝⎭1011-⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝ ③1011-⎛⎫ ⎪-⎝⎭2111⎛⎫ ⎪⎝⎭＝9.向量12⎛⎫⎪⎝⎭经过1101⎛⎫ ⎪⎝⎭和1011⎛⎫ ⎪⎝⎭两次变换后得到的向量为10.向量1⎝⎭先逆时针旋转45o ，再顺时针旋转15o得到的向量为11.函数sin()3y x π=-的图像经过2001⎛⎫ ⎪⎝⎭的伸缩变换，和1001-⎛⎫ ⎪⎝⎭的反射变换后的函数是12. 椭圆22143x y +=先后经过反射变换0110⎛⎫ ⎪⎝⎭和伸缩变换1000.5⎛⎫ ⎪⎝⎭后得到的曲线方程为 13.已知Ｍ＝2111⎛⎫ ⎪⎝⎭，且ＭＮ＝1201⎛⎫⎪⎝⎭，求矩阵Ｎ。