有无卖空限制下的有效边界
有很多软件可以用来找出有效边界。

这里我们将介绍如何运用Excel寻找有效边界的方法。

由于受到可以处理的资产数量的限制，Excel并不是最好的软件，但它非常直观，可以让读者了解全过程，而不象其他软件（如Matlab）那样进行“黑箱”操作。

你将发现即使使用Excel，有效边界的计算也是非常容易的。

假定美国等7个国家股市的预期收益率、标准差和相关系数的数据如表A所示。

我们如何利用这些数据来计算由这7国股市构成的有效边界呢？
首先，我们可以根据表A的数据运用公式σij=ρijσiσj计算7国股市的协方差矩阵，如表B所示。

其次，我们得为计算有效边界准备一些数据。

为了给有效边界的计算提供一个参照物，我们先建立一个等权重组合，在这个组合中每个国家的权重都等于1/7，即0.1429。

利用表C，我们就可以求出等权重组合的协方差矩阵。

其中各单元格的值等于X i X jσij（其中X i和X j都等于1/7）。

等权重组合的方差就等于各单元格的值之和。

等权重组合的标准差等于方差的平方根。

而等权重组合的预期收益率等于各国股市预期收益率的算术平均数。

通过计算我们发现等权数组合的标准差和预期收益率分别等于17.58%和18.26%。

为了计算有效边界上的点，我们在表D中使用Excel的Solver（你可以在Excel的菜单栏“工具”中找到它，如果没有的话，请点击“工具”中的“加载宏”，并将Office光盘放入电脑的光驱，按提示加载此功能即可。

）。

Solver是一个最优化程序。

当你打开Solver时，弹出的对话框会要求你输入目标（Target）所在的单元格。

在我们这个例子中，目标是投资组合的方差，它在B48单元格。

请选择最小化目标。

然后输入决策变量（各国股市在投资组合中所占的权重）所在的单元格区间（B40：B46）。

最后输入所有限制条件。

当允许卖空时，我们只有两个限制：一是权重之和等于1（B47单元格等于1）；二是组合的预期收益率等于一个给定的值。

我们先让它等于等权重组合的预期收益率18.26%，这样第二个限制条件就是单元格B50=18.26。

这时你就可以点击“Solve”让Solver找出最优的权重了。

Solver会自动将单元格区间B40：B46和C39：I39的数值变为最优数值，并在单元格B49和B50分别显示这个最优组合的标准差和预期收益率。

通过比较这个最优组合和等权重组合我们可以发现，两个组合的预期收益率相等，但最优组合的标准差只有16.49%，降低了1.09%。

而且这两个组合的权重有很大不同。

为了得到完整的有效边界，我们可以不断改变给定的预期收益率的值（限制条件2），并让Solver不断求出新的最优权重和标准差。

并把结果记录在表E。

当我们记录了足够数量的（标准差，预期收益率）点之后，我们就可以让Excel为我们绘制没有卖空限制的有效边界了，如图所示。

如果不允许卖空，那我们就等多加一个限制条件：所有权重都不能是负数（B40：B46≥0）。

重复上述步骤我们就可以得到不允许卖空的有效边界，这条边界位于没有卖空限制的有效边界之内，如图所示。

由此可见，限制卖空将给投资者带来巨大的福利（效用）损失。

值得注意的是，不允许卖空的有效边界无法获得低于14.9%（即加拿大股市的预期收益率，它是7国中最低的）或高于22.1%（即德国股市的预期收益率，它是7国中最高的）的收益率。

图9还显示了7国股市和等权重组合的预期收益率和标准差。

从中我们可以明显看出分散化的效果。

习题:
在表单2习题数据中有1992年4月10日至2001年8月14日上海证交所8只股票的每日收盘价（已复权）。

请根据这些数据找出它们有效边界（不允许卖空）。

提示：先根据每日收盘价计算出各股票每日连续复利收益率。

然后用EXCEL所附的均值和标准差函数求出收益率的均值和标准差。

再转换成年收益率和年标准差。

再用EXCEL“工具”中的“数据分析”中的求相关系数工具求出各股票收益率之间的相关系数矩阵。

然后就可以模仿前面提供的模板来找有效边界了。

答案请见表单4。

本书所附光盘中有上海和深圳证交所2001年8月14日之前所有股票的每日收盘股价（已复权）。

有兴趣的读者可以用这里介绍的方法用更多的股票来建立有效边界。