第五章 参数估计



第一节 第二节 第三节 第四节
参数估计的基本原理 一个总体参数的区间估计 两个总体参数的区间估计 样本容量的确定
学习目标
1.
2. 3. 4. 5. 6.
估计量与估计值的概念 点估计与区间估计的区别 评价估计量优良性的标准 一个总体参数的区间估计方法 两个总体参数的区间估计方法 样本容量的确定方法
25袋食品的重量
112.5
102.6 100.0 116.6 136.8
101.0
107.5 123.5 95.4 102.8
103.0
95.0 102.0 97.8 101.5
102.0
108.8 101.6 108.6 98.4
100.5
115.6 102.2 105.0 93.3
总体均值的区间估计
总体方差的区间估计
总体方差的区间估计

3.
1. 估计一个总体的方差或标准差 2. 假设总体服从正态分布 总体方差 2 的点估计量为S2,且
n 1S 2
2
4. 总体方差在1-置信水平下的置信区间为
~ 2 n 1
n 1S 2 2 n 1S 2 2 2 2 n 1 1 2 n 1
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6
一个总体参数的估计
总体参数 均值 比例 方差 符号表示 样本统计量
X
x p
S2
P 2
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二、点估计与区间估计
估 计 方 法
点 估 计
矩估计法 顺序统计量法 最大似然法 最小二乘法
区间估计
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点估计
(point estimate)
1.
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区间估计
(interval estimate)
1.
在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间 范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总 体参数的接近程度给出一个概率度量

2.
比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%
总体方差的区间估计
(例题分析)
解 : 已 知 n ＝ 25 ， 1- ＝ 95% , 根 据 样 本 数 据 计 算 得 s2 =93.21 2 (n 1) 02.025 (24) 39.364 12 (n 1) 02.975 (24) 12.401
X z 2

n
或 X z 2
S n
( 未知)
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】一家保险公司收集到由 36位投保个人组成的随机样本， 并得到每个投保人的年龄 ( 周岁 ) 数据如下表。试建立投保人 年龄90%的置信区间
36个投保人年龄的数据
23
36 42 34 39 34
35
42 53 28 49 39
置信区间
样本统计量 (点估计)
置信下限
置信上限
区间估计的图示
X z 2 X
- 2.58x -1.65 x
X

+1.65x + 2.58x
X
-1.96 x
+1.96x
90%的样本 95% 的样本 99% 的样本
置信水平
1.
2.
将构造置信区间的步骤重复很多次，置 信区间包含总体参数真值的次数所占的 比例称为置信水平 表示为 (1 -
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无偏性
(unbiasedness)

无偏性：估计量(随机变量)的数学期望等于被估计的总体参 数

中心极限定理证明了：样本平均数和样本成数都满足无偏 性 ˆ) P( E ( p) P
E( x ) X
ˆ B
1
ˆ
A
无偏
有偏
2
总体参数
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25袋食品的重量 112.5 102.6 100.0 116.6 136.8 101.0 107.5 123.5 95.4 102.8 103.0 95.0 102.0 97.8 101.5 102.0 108.8 101.6 108.6 98.4 100.5 115.6 102.2 105.0 93.3
t X S n ~ t (n 1)
2.
使用 t 分布统计量
3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为 S X t 2 n
t 分布
分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正 态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为 自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋 于正态分布
标准正态分布
标准正态分布
t (df = 13)
t 分布
t (df = 5)
Z
X
t 分布与标准正态分布的比较
t 不同自由度的t分布
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质 量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重 量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了 25 袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正 态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平均重量的 置信区间，置信水平为95%
(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根 据样本数据计算得：x 105.36 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
n 105.36 3.92
x z

2
105.36 1.96
10 25
101.44,109.28

ˆ
有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小 标准差的估计量更有效
ˆ) P(
ˆ1 的抽样分布
B A
ˆ2
的抽样分布
样本平均 数比中位 数更有效

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ˆ
一致性
(consistency)

一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接 近被估计的总体参数 大数定律已经证明了：样本平均数和样本成数都满足 一致性
做法：用样本估计量的值直接作为总体参数的 估计值 例：用样本均值直接作为总体均值的估计； 用样本成数直接作为总体成数的估计 例：用两个样本均值之差直接作为总体均 值之差的估计 2. 缺点：没有考虑抽样误差的大小；没有给出估 计值接近总体参数的程度 3. 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最 大似然法、最小二乘法等
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计 推断统计
参数估计
假设检验
统计推断的过程
总体
样 本
样本统计量
例如：样本均 值、比例、方 差
第一节 参数估计的基本原理
一、估计量与估计值 二、点估计与区间估计 三、评价估计量的标准
一、估计量与估计值
(estimator & estimated value)
P z 2
(1 )
n
或 P z 2
P(1 - P) ( 未知时) n
总体比例的区间估计
(例题分析)
【 例 】 某 城 市 想 解：已知 n=100，p＝65% , 1-= 95%， z/2=1.96 要估计下岗职工 p (1 p ) 中女性所占的比 p z 2 例，随机抽取了 n 100 个 下 岗 职 工 ， 65%(1 65%) 其中 65 人为女性 65% 1.96 100 职 工 。 试 以 95% 的置信水平估计 65% 9.35% 该城市下岗职工 55.65%,74.35% 中女性比例的置 该城市下岗职工中女性比例的置信 信区间 区间为55.65%~74.35%
3. 置信水平 (1 - )，影响 z 的大小
X 样本容量， n
常用置信水平及 z 2 值
置信水平 1- 90% 95% 99%

0.10 0.05 0.01
/2
0.05 0.025 0.005
z 2
1.645 1.96 2.58
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评价估计量的标准
39
46 45 39 38 45
27
43 54 36 34 48
36
31 47 44 48 45
44
33 24 40 50 32
总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数 据计算得： x 39.5 ，s 7.77 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
n 39.5 2.13
x z
s
2
39.5 1.645
7.77 36
37.37,41.63
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
总体均值的区间估计
(正态总体、２未知、小样本)
总体均值的区间估计
(小样本)

1. 假定条件

总体服从正态分布,且方差(２) 未知 小样本 (n < 30)
1476.8,1503.2
该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～ 1503.2小时
总体比例的区间估计
总体比例的区间估计

1. 假定条件


总体服从二项分布 可以由正态分布来近似 大样本
2.
使用正态分布统计量Ｚ P Z ~ N (0,1) (1 ) n 3. 总体比例在1-置信水平下的置信区间为