文章编号:042727104(2010)0120081207 收稿日期:2009205231 基金项目:国家高技术研究发展计划(863计划)资助项目(2006AA03A166) 作者简介:江　程(1984—),男,硕士研究生;刘木清,男,教授,通讯联系人,E 2mail :mqliu @.自由曲面照明透镜的应用研究江　程,江　磊,陈郁阳,刘木清(复旦大学电光源研究所,上海200433)摘　要:根据已知光辐射分布特性的光源,通过设计合适的配光透镜,形成目标观察面上特定的照度分布或空间的光强分布,比如说形成照度均匀的矩形光斑.依据最基本的光学定律和能量守恒定理,提出了一种新颖的照明透镜设计方法.该方法在确定了能量映射方式和单面自由曲面透镜的初始结构后,由矢量形式的折射定律和光通量守恒定律,建立光源的光线、最终出射光线及入射点的法向矢量的关系方程组,进而得到此方程组的数值解,并通过CAD 软件的逆向工程建模即得到设计的透镜.介绍了此方法的多个实例.由于半导体光源L ED 体积小,可近似看成点光源,非常有利于使用自由曲面法进行二次光学设计.关键词:照明透镜;自由曲面;点光源;辐射对应;网格对应中图分类号:TU 113文献标志码:A传统的灯具设计一般在抛物面、椭球面等二次圆锥曲面上进行反射加透射结构的光学设计,来达到希望的光强分布.然而仅使用上述规则曲面往往并不能一下子达到设计目标,一般要通过试错法,对这样规则曲面的初始面形反射器进行一定的改动与细心的调整,反复优化,这种设计方法的时间周期长,且不一定奏效.现在介绍一种比较新颖和热门的设计方法———自由曲面法,在知道光源本身的光强分布和目标平面的照度分布情况下,能够一气呵成的设计出所需的反射器或透镜,有利于提高设计灯具的效率.自由曲面非对称、不规则、难以用统一的方程式来描述.在照明光学系统中,它不仅能够自由分配光强,也可以控制光线角度、光程差等物理量.在照明系统中恰当的使用自由曲面能够优化照明系统的结构,减小系统的体积大小,提升照明效果,提高光能利用率,能够丰富照明设计的手段.针对自由曲面的光学设计目前主要有H.Ries 的Tailoring 法[122],P.Benitez 的SMS (simultaneous multiple surface )法[3],V.Oliker 的变分法[425]以及W.Parkyn 的划分网格法[627]等.上述方法都比较复杂,最终都是把照明问题转换成对二阶非线性Monge 2Ampere 方程组的数值求解.比如就Tailoring 法而言,就有折射率方程、曲率方程、照度方程、积分条件及边界条件等5个矢量方程组,建模的过程采用了微分几何,方程的求解过程对数学要求也很高.而国内针对自由曲面非成像透镜也有单位在研究,各自的侧重点不同.浙江大学针对投影照明的应用而先后研究了反射式、透射式的自由曲面光学设计[829],清华大学则提出了表面非连续的自由曲面透镜的设计有利于控制大角度光线的精确度[10],另外香港理工大学的研究主要是针对道路照明应用的L ED 光源的二次光学设计[11].本文根据照明的光学设计的实际应用,依据最基本的光学定律和能量守恒定理,提出了一种新颖的照明透镜设计方法,简化了单面自由曲面的照明透镜的设计,具体针对L ED 点光源介绍了几种可行的透镜结构和能量对应关系,并以形成矩形光斑为例,研制出了多种不同形式自由曲面照明透镜.1　设计方法与步骤1.1　确定单面自由曲面照明透镜的初始结构目前能同时设计透镜的内外两表面均为自由曲面的只有P.Benitez 的SMS 法,本文要介绍的只是单面自由曲面的透镜,因此就有必须设定透镜某表面采用简单形式的曲面,而对另一表面加以设计.常用的第49卷　第1期2010年2月复旦学报(自然科学版)Journal of Fudan University (Natural Science )Vol.49No.1Feb.2010曲面可以是平面、球面或柱面.下面给出3种单面自由曲面照明透镜可采用的结构.内表面是球面,外表面是自由曲面,见图1;内表面是平面,外表面是自由曲面,见图2;外表面是平面内表面是自由曲面,见图3,其中s 是光源,n 是透镜材料的折射率,下同.可以理解,图1的结构与图2的结构从光学角度而言本质相同.另外,外表面为平面的自由曲面透镜结构由本人首先提出,并只有使用下文介绍的方法才能设计成功.1.2　建立模型自由曲面设计的思路就是根据入射光矢量和出射光矢量的变化关系式求得入射点的曲率,从而根据所有已知的曲率和边界条件来求所需的曲面.图4　光源点s ,入射点p 及目标面上点t 的光线示意图.N 表示垂直于光学表面的法矢量Fig.4　Sketch of source location ,a point p on t heoptical surface ,and point s p on t he targetsurface.N denotes t he unit normal to t heoptical surface 如图4所示[122,12],考虑一束从空间点光源s 发出的光入射到某光学表面的p 点上,后折射或反射到目标面上t 点.设入射光单位矢量I n =Unit (p -s ),出射光单位矢量Out =Unit (t -p )及法向矢量N ,则三者满足下面关系:[1+n 2-2n (Out ・I n )]1/2N =Out -n I n ,(1)(1)式中的n 分为n =1(反射)和n ≠1(折射)两种情况.(1)式是折射定律的矢量形式,给出了入射光线矢量与出射光线矢量的关系[122,12].在图1所示的透镜结构图中,以光源s 为原点,引用球坐标系后把(1)式的矢量方程化为标量方程有:x =(ρθ′sin θ-ρφ′sin φcos φcos θ+ρsin 2φcos θ)A +(ρ+n |t -p |)sin φco s θ,y =(ρθ′cos θ+ρφ′sin φcos φcos θ-ρsin 2φcos θ)A +(ρ+n |t -p |)sin φsin θ,z =(-ρφ′sin 2φcos φcos θ+ρsin φcos φ)A +(ρ+n |t -p |)cos φ;其中,A 为一变量,s =(0,0,0),t =(x ,y ,z ),p =(x p ,y p ,z p )=ρ(θ,φ)(sin φcos θ,sin φsin θ,cos φ),ρθ′表示ρ(θ,φ)对θ的偏导数,ρφ′表示ρ(θ,φ)对φ的偏导数,下同.上式中的因子|t -p |再进一步代数化过程有诸多不便.由于在室内室外照明实际应用时,目标受照面相对比较远,出射光线到目标照射点t 到原点的距离|t |至少是米的级别,而针对点光源设计的照明透镜一般比较小,其外表面一点p 到原点的距离|p |可以人为地控制在毫米的数量级,即得|t |µ|p |,所以可以认为透镜大小可以忽略不计,即|t -p |∆|t |.也就是说,任意一条射到受照面上的光线都可以认为由原点发射出来.根据这一合理的近似后,方程的求解才变得可能,特别是外表面是平面的结构中,没有这个条件是根本不能求解的.根据实际照明面的位置,可以进一步将(2)式简化.令照明面垂直于y 轴,位于y 0处,即y =y 0,则(2)式28复旦学报(自然科学版) 第49卷可变形为:x =(ρθ′sin θ-ρφ′sin φco s φcos θ+ρsin 2φcos θ)(y 0-n |t |sin φsin θ)(ρθ′co s θ+ρφ′sin φcos φco s θ-ρsin 2φco s θ)+n |t |sin φcos θ,y =y 0,z =(-ρφ′sin 2φcos φcos θ+ρsin φcos φ)(y 0-n |t |sin φsin θ)(ρθ′co s θ+ρφ′sin φco s φco s θ-ρsin 2φco s θ)+n |t |co s φ;(3)其中|t |根据后文的边界条件可写成简单的表达式.这个方程组可以直接用在外表面自由曲面,内表面是半球面的第一类透镜结构中.1.3　能量对应的拓扑关系建立好照明透镜的光学模型并选定一种透镜结构后,还要确定光源空间能量分布与经透镜后的出射光的能量分布的对应关系,也就是由折射定律建立的方程的边界条件.根据光通量守恒而为使得能量利用最大化,必须采取一种约束方法,使得光源空间光能量分布与受照面上的照度的联系满足下式[13]:∫∫ΩI (I n (θ,φ))d Ω=∫∫v (Ω)E (t (x ,y ,z ))d s.(4)其中I (I n (θ,φ))表示光源在I n (θ,φ)方向的光强,E (t (x ,y ,z ))表示在受照面上点t (x ,y ,z )位置的照度,Ω是对光源积分的立体角,v (Ω)是对应于光源Ω立体角的受照面上的面积.光源空间能量分布与经透镜后的出射光的能量分布的对应关系很自然地可以有两种方式[627,9210]:一是以赤道某一点为中心按其经线与纬线的自然划分进行的经纬网格对应,见图5;二是以两极为中心在不同的经度由高纬度向低纬度逐渐展开的辐射环带对应,见图6,表述时借用了地理名词.对应关系不同,(4)式形式也不相同.应该看到,在确定了对应关系后,(4)式本质上建立了光源的任意一条光线与受照面上的点一一对应的数值关系.联立(3)式和变形后的(4)式即可通过数值求解得到所需设计的透镜曲面的数值,再通过三维CAD 软件的逆向工程得到透镜的自由曲面进而得到实体.2　自由曲面透镜设计实例这一部分将介绍同样实现均匀矩形光斑而出现的几个不同透镜形式的设计实例.因为只要透镜结构与能量对应关系两者之一发生变化,则透镜形式就会大不相同.比如说实例一和实例三均采用图3所示的透镜结构,而能量对应方式前者采用的是图5所示的经纬网格对应,后者采用图6所示的辐射环带对应,而最后透镜形式迥异.2.1　实例一采用光强呈朗伯分布的L ED 光源,放置于坐标系的原点,中心轴在y 轴上.采用图5所示的经纬网格对应.图7(见第84页)为该实例的光路示意图.由于光源光线经两次折射,所以连续使用两次折射定律.由(1)式有38　第1期江　程等:自由曲面照明透镜的应用研究图7　实例一光路示意图Fig.7　Sketch of the light path for Exam.1 [1+n2-2n(A2・A1)]1/2N1=n A2-A1,(5)[1+n2-2n(A3・A2)]1/2N2=A3-n A2.(6)且由于外表面为平面,故知N2=(0,-1,0),(5)式(6)式经前文提及的两次模型近似简化后可删去A2,整理成入射光线A1和出射光线A3的关系式.已知光通量守恒计算式(4)式可变形为(7)式:∫π/2-φπ/2∫π/2-θπ/2I(I n(θ,φ))sinφdθdφ=∫x0+Δx x0∫z0+Δz z0E(t(x0+Δx,z0+Δz))d x d z.(7)令矩形的长宽分别为l、w.由已知L ED的光强分布为I(α)=I cos(α),即I(In(θ,φ))=I sinφsinθ,又观测面的等照度分布,且中心在y轴上,即令E(t(x0+Δx,z0+Δz))=E,x0=0,z0=0.又由对应关系知,当(Δx,Δz)=(l/2,w/2)时,(θ,φ)=(π/2,π/2).当(Δx,Δz)=(C1,Δz)时,(θ,φ)=(C2,φ),C1和C2均为实常数当(Δx,Δz)=(Δx,C3)时,(θ,φ)=(θ,C4),C3和C4均为实常数通过上述计算式,可以得到x=x(θ,φ),y=y0,z=z(θ,φ).图8　实例一的透镜实体图Fig.8　Stereogram of Exam.1而另外|t|=x2+y20+z2,所以由上述几个方程组式即可化简成关于ρ(θ,φ)的偏微分方程组.通过有限差分数值计算可以得到所需设计的自由曲面.通过CAD软件建模得如图8所示实体.考虑到大角度的光线有逃逸,没有经透镜调制直接出射,能量会有很大损失,为避免这种透镜结构的缺陷,实际使用时,根据透镜的固定方式的需要,可以在实体模型上加上全反射的透镜底座,一则起固定作用,二则可对大角度光线进行合适配光加以利用.图9是加了透镜底座后的照度图.图9　实例一的透镜仿真结果Fig.9　Simulation result s of t he1st lens48复旦学报(自然科学版) 第49卷2.2　实例二实例二中采用图1所示的透镜结构,和图5所示的经纬网格能量对应方式.按照上述所说的单面自由曲面的透镜步骤,根据折射定律方程(可以直接应用(3)式方程组)和能量对应关系方程可以求解得外表面数值点,建模后实体图如图10,图11为实例二透镜的实际照片,图12为实例二透镜的照度图.可以看到所有光线几乎都被约束在预期的矩形光斑内,能量基本没有浪费.这种透镜结构也是在单面自由曲面照明透镜的研究中使用较多的结构,优点在于其能量利用率高,理论上能对L ED 所有出射光线进行调制,并且光线穿过透镜时可以视为只经历一次折射,计算简单.缺点是但这种结构不适合用于设计出射光为小光束角的透镜,因为此时易发生全反射.这种结构也被称为光源浸没式结构[6,10].另外,有必要提到文献[11]作者采用了不同表达形式,也设计出了此透镜形式.2.3　实例三实例三透镜是一个采用图3所示的透镜结构和图6所采用的辐射环带能量对应方式.图13是实例三的透镜的实体图,图14(见第86页)是实例三的照度图.可以看到,与实例一一样,大角度的光线没有经过透镜折射直接照射到观测面.故实际应用时设计杯壁结构使大角度光线经杯壁全反射到预期区域.图15和图16(见第86页)分别是2008年4月加工的透镜加上Cree 公司的L ED 点亮后的实际效果照片和实际灯杯照片.可以看到实际光斑与仿真效果有区别,这里除了注塑加工工艺误差外,还有L ED 在使用时很接近透镜,并非理想的点光源.另外,还有第四种透镜形式,即采用透镜结构一与辐射环带能量映射的对应关系,在文献[9]中也研58　第1期江　程等:自由曲面照明透镜的应用研究图13　实例三的透镜的实体图Fig.13　Stereogram of Exam.3究出了较类似的设计过程,有兴趣的读者可参考.由于L ED 体积小,发光芯片可近似看成点光源,而且半平面空间出光等特点,非常适合采用自由曲面光学设计.本文通过已研发成功的实现矩形光斑的多种透镜形式,用以说明单面自由曲面设计方法的思路.从文中例子可以看出,设计过程速度快,效果好,设计思路流畅,是一种优越的设计方法.利用自由曲面的光学设计能大大提高设计的周期,无论是在投影显示、道路照明,还是特殊照明,都大有可为.值得注意的是,自由曲面照明透镜的研究还有很多工作要做,比如说对于不同结构透镜效率可以进一步探讨,对于单面自由曲面透镜其他结构可以进一步挖掘,对于能量映射的其他形式可以进一步研究.还有就是如何针对面光源设计自由曲面透镜,以及如何设计双面都是自由曲面的透镜,这两者是更为复杂、难度更高的研究课题了.参考文献:[1]　Ries H ,Muschaweck J.Tailored f reeform optical surfaces [J ].J O pt S oc A m A ,2002,19(3):5902595.[2]　Ries H ,Muschaweck 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as a point source.K eyw ords:illuminating lens;free2form surface;point source;radiation mapping;mesh mapping 78　第1期江　程等:自由曲面照明透镜的应用研究。