巩固
课本P17第2题
练
习
如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm，求点O 到AB的距离及∠OAB的余弦值。
OC 24mm
O
cos OAB 3 5
初 中 数 学 课 件-垂径 定理P PT精品 课件北 师大版 1（精品 课件）
A
C
B
典例解析 初中数学课件-垂径定理PPT精品课件北师大版1（精品课件）
学习目标
▪ 1、利用圆的轴对称性探索垂径定理，识别 垂径定理的常见图形，并能利用垂径定理 进行画图、计算、证明.
▪ 2、经历探索、操作、推理的过程，进一步 体会垂径定理在实际生活中的应用，培养 创新意识.
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探究一： 初中数学课件-垂径定理PPT精品课件北师大版1（精品课件）
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垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
E
BA
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
垂径指垂直于弦的直 径、半径、过圆心的
直线或线段
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O
C
B
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D
图5-18
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归纳总结
• 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧。
C
怎样用几何语言表达?
O
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB
A
⌒ ⌒⌒⌒ ∴ AE＝BE，AD= BD ，AC=BC
E
B
D
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C
OD O CD CR7.2.
7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
A
D
B
O2AAD 2OD 2,
R
即 R 21.7 8 2(R 7 .2 )2.
解得 R≈27.9（m）. O
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总结归纳
若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示， 弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？
r2
d2
a
2
2
a
O
d
r
A
hE
B
若下面的弓形高为h则r、 d、h之间有怎样的关系?
r=d+h
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九年级数学(下)第五章圆
5.3 垂径定理
赵州桥
赵州桥是1300多年前我国隋代建造的石拱 桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．
问题情境:你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
7.2
A
37.4
B
问题 ：它的主桥是圆弧形,它的跨度
(弧所对的弦的长AB)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)7.2m，
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如(中即图C图D，中=一60C⌒条0Dm公，,E路点为的oC⌒是转D弯C⌒上D处一的是点圆一，段心且圆)，弧其
OE⊥CD ，垂足为F，EF=90m,求这段
弯路的半径。
C
E
FD O
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补充
实际上，垂直于弦，平分弦，直径 ，平分弦所对的一条弧，平分弦所 对的另一条弧这5个条件中，任知2 个，可得另3个。
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验证发现
[验证篇]
已知：如图5-18，在⊙O中，AB是⊙O的一条弦，
CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M。
求证：AM＝BM，⌒AC = ⌒BC ,⌒AD= ⌒BD ,
C
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 A M
B
·O
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对应练习
“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中
的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯
锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”转化为现在的
数学语言就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足
为点E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”．
26寸
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探究二
垂径定理的推论
如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直 径CD，交AB于点M.
(1)图形是轴对称图形吗？如果是，其对称轴M是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
C
A
B
·O
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如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB于M． (1)图5-17是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么 （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说理由。
C
M A
B
·O
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D
图5-17
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赵州石拱桥
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设 A B 3.4 7 ,C D 7 .2 ,
AD 1 AB 137.418.7, 22
37.4
D
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垂径定理的推论
平分弦（不是直．径）的直径垂直于弦,
并且平 分弦所对的两条弧.
C
●O
A
EB
被平分的这条 弦不是直径
CD是直径 AE=BE
可推得
CD⊥AB,
A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
D
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