► 其中R为正交旋转矩阵，T为平移矢量
► 设R1,T1为摄像机１的外参数矩阵， R2,T2为摄
像机２的外参数矩阵，则两个摄像机的关系 矩阵可以表示为： 1 R R1 R2
T T1 R1 R21 T2
经典标定方法简介
► 利用透视变换矩阵的摄像机标定技术
将式（8）写成：
u m11 m12 m13 z v m21 m22 m23 1 m31 m32 m33
谢谢大家！
xw m14 y w m24 zw m34 1
(10)
经典标定方法简介
其中，（Xw,Yw,Zw,1）是空间三维点的世界坐标， （u,v,1）为相应的图像坐标，mij为透视变换矩阵M的 元素。整理消去z后，得到如下关于mij 的线性方程：
经典标定方法简介
►利用径向排列约束（RAC）的摄像机标定技术
基于RAC（Radial alignment constraint）的摄像机 标定方法属于两步法，第一步是利用最小二乘求解超定 线性方程，给出外部参数；第二步求解内部参数，如果 摄像机无透镜畸变，则由一个超定线性方程解出。如果 存在一个以二次多项式近似的径向畸变，则可以用一个 三变量的优化搜索求解。 径向排列约束就是矢量 L1 和矢量 L 2具有相同的方 向，即方向（L1 ）=方向（L 2）
► 其中，u0，v0是图像中心（光轴与图像平面
的交点）坐标，dx ，dy分别为一个像素在X与 Y方向上的物理尺寸，sx=1/dx ，sy=1/dy 分别 为X与Y方向上的采样频率，即单位长度的像 素个数。
► 因此可得物点p与图像像素坐标系中像点pf的
变换关系为：
u u0 fsx x / z f x x / z v v0 fs y y / z f y y / z
xwYd
ywYd
zwYd Yd
xwYd
ywYd
(13)
经典标定方法简介
对每一个物体点，已知其xw , yw ,Xd ,Yd, 就可以写出方程 （13），选取合适的7个点就可以解出列矢量中7个分 量。同一平面上的点标定，并选取世界坐标系，使 Zw=0，这样，方程（13）就可以简化为：
xwYd
f X 0 z Y 0 1 0 0 0 f 0 0 f 0 1 0 x y 0 0 z 0 1
(4)
► 将上式图像物理坐标系进一步转化为图像坐
标系：
u u0 X / d x sx X v v0 Y / d y s yY (5)
(1)
► T是世界坐标系原点在摄像机坐标系中的坐标，
矩阵R是正交旋转矩阵．
► R满足约束条件：
2 2 2 r r r 11 12 13 1
r212 r22 2 r232 1 r312 r32 2 r33 2 1
(2)
► 正交旋转矩阵实际上只含有三个独立变量Rx ，
► 三个层次的坐标系统
（1）世界坐标系（Xw，Yw，Zw）：也称真实或现实 世界坐标系，或全局坐标系。它是客观世界的绝对 坐标，由用户任意定义的三维空间坐标系。一般的 3Ｄ场景都用这个坐标系来表示。 （2）摄像机坐标系(xoy)：以小孔摄像机模型的聚焦 中心为原点，以摄像机光轴为oz 轴建立的三维直角 坐标系。x，y 一般与图像物理坐标系的Ｘ，Ｙ 平 行。
Ry，Rz，再加上tx ,ty ,tz 总共六个参数决定了摄 像机光轴在世界坐标系中的坐标，因此这六 个参数称为摄像机的外部参数。
►2.图像坐标系与摄像机坐标系变换关系
摄像机坐标系中的一点p在图像物理坐标系中像 点P坐标为：
X fx / z Y fy / z (3)
► 齐次坐标表示为：
m11 xw m12 yw m13 zw m14 uzwm31 uywm32 uzwm33 um34 m21 xw m22 yw m23 zw m24 vzwm31 vywm32 vzwm33 vm34
如果已知三维世界坐标和相应的图像坐标，将变换矩 阵看做未知数，则共有12个未知数。对于每一个物体 点，都有如上的两个方程，因此，取6个物体点就可 以求得变换矩阵M的系数。
经典标定方法简介
由成像模型可知，径向畸变不改变L1 的方向，因 此，无论有无透镜畸变都不影响以上等式。有效焦距 的变化，也不影响这个等式，因为焦距的变化只会影 响L1 的长度而不影响其方向。又因为：
x r11 r12 r13 xw y T y r r r 21 22 23 w z r31 r32 r33 zw
系．两个摄像机的空间位置关系可以表示为：
x2 x1 r 1 y y r R T 2 1 4 T z 2 0 1 r7 z1 1 1 0 r2 r5 r8 0 r3 r6 r9 0 t x x1 y ty 1 t z z1 1 1 (9)
► 1.世界坐标与摄像机坐标之间的转换关系：
xw r11 r12 r13 x y R T y r r r23 21 22 w z 0T 1 zw r31 r32 r33 1 1 0 0 0 t x xw y ty w t z zw 1 1
（3）图像坐标系，分为图像像素坐标系和图像物理 坐标系两种： a) 图像物理坐标系：其原点为透镜光轴与成像平面的 交点，X 与Y 轴分别平行于摄像机坐标系的x与y 轴，是平面直角坐标系，单位为毫米。 b) 图像像素坐标系[计算机图像（帧存）坐标系]：固 定在图像上的以像素为单位的平面直角坐标系，其 原点位于图像左上角, Xf，Yf 平行于图像物理坐标 系的X 和Y轴。对于数字图像，分别为行列方向。
o Of
x Xf L1 X P(X,Y) Pf (u,v) Zw Xw
y
O
Yf
பைடு நூலகம்
Y
L2 z
p(x,y,z) (xw,yw,zw)
Yw
图1 摄像机标定中常用坐标系
计算机视觉常用坐标系采用右手准则来定 义，图1 表示了三个不同层次的坐标系统： 1.世界坐标系 2.摄像机坐标系 3.图像坐标系（图像像素坐标系和图像物理 坐标系）。
(11)
经典标定方法简介
RAC意味着存在下式： Xd r x 11 xw r 12 yw r 13 z w Tx (12) y Yd r21 xw r22 yw r23 zw Ty
整理上式并化成矢量形式可得：
r11 / Ty r / T 12 y r13 / Ty zwYd Tx / Ty X d r21 / Ty r22 / Ty r / T 23 y
xwYd
Yd
xwYd
r11 / Ty r / T 12 y xwYd Tx / Ty X d r21 / Ty r22 / Ty
(14)
经典标定方法简介
► 利用（14）和旋转矩阵为正交的特点，可以
确定旋转矩阵R和平移分量Tx，Ty。 ► 利用RAC方法将外部参数分离出来，并用求 解线性方程的方法求解外部参数。 ► 特别地，可将世界坐标和摄像机坐标重合， 这样，标定时只求内部参数，从而简化标定。
(7)
► 转化为齐次坐标为： xw u f x 0 u0 0 y R T z v 0 f y v0 0 T w M 1M 2 X MX (8) 0 1 zw 1 0 0 1 0 1 ► 这是针孔模型或者中心投影的数学表达式。
在摄像机内部参数确定的条件下，利用若 干个已知的物点和相应的像点坐标，就可 以求解出摄像机的内部和外部参数。
Zw
Yw
Xw M(x ,y ,z ) w w w z2 Y1 z 1
m1(X1,Y1) m2(X2,Y2)
Y2
X2
y2
y1 o1 摄像机1
X1 摄像机2
x1
双目成像原理
o2
x2
► 双目标定的关键是确定两个相机的位置关
(6)
► 其中，fx=fsx，fy=fsy分别定义为X和Y方向的等
效焦距。fx、fy、u0、v0这4个参数只与摄像机 内部结构有关，因此称为摄像机的内部参数。
► 世界坐标系与图像坐标系变换关系：
X u u0 r11 xw r12 yw r13 zw t x f f r x r y r z t x 31 w 32 w 33 w z Y v v0 r21 xw r22 yw r23 zw t y fy r31 xw r32 yw r33 zw t z f