1最大周向应力 破裂判据是断裂力学的核心问题，破裂判据是针对某一特定尺度、特定层次提出的。作为一个完整的破裂判据，至少能够回答两个问题：①破裂在什么条件下起始或继续：②破裂向什么方向扩展？ Erdogan与薛昌明（Sih）（1963）基于复合型裂纹在垂直于最大周向拉应力方向的平面内扩展这一实验观测结果，提出了最大周向拉应力准则。 Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹，且KⅢ=0的情况下，裂纹前缘极坐标中的应力分量表达式为：













)()1cos3(sin2cos22

1

)(sin3)cos1(2cos22

1

)(2sin)1cos3(2cos)cos3(22

1

2/12/12/1

roKKrrroKKrroKKrrr

（1）

1.1 裂纹扩展方向 最大周向拉应力准则认为：裂纹沿σθθmax所对应的θ的方向扩展，该方向满足以下条件：

0/,0/22（2）

将式（1）中第二式对θ微分后，得到 







)sin3cos(2cos)1cos3(sin2sin

2

1

243

)1cos3(sin2cos2

321

22KK

KK

r

KKr

（3）

令0/可得 0)1cos3(sin2cosKK（4）

上式中一个解为：0,,0)2/cos(。但代入（3）式可知，此解使0/22，不能满足0/22的条件。另外此解求得的是裂纹面上已破裂方向，无实际意义，所以断裂角θ0决定于方程 0)1cos3(sinKK（5）

当KΙ和KΠ都不为零时，由式（2）得出 

)/(4)/(811(arctan220KK

KK（6）

由应力分析可以得到的应力分布图，可以看出，使Ι-Ⅱ复合型裂纹的取极大值的范围只能在0，因此满足应力分析的分支为



)/(4)/(811(arctan220KK

KK（7）

2Renshaw与Pollard准则 2.1 Renshaw与Pollard准则（1995） Renshaw与Pollard（1995）借助实验方法模拟了水力裂缝遇到预置的正交人工天然裂缝交互延伸情况，并根据实验结果归纳出了水力裂缝与人工天然裂缝交互延伸准则

06.135.035.00

yyxx

T（8）

Renshaw与Pollard准则值考虑了水力裂缝与人工裂缝正交的情况下交互延伸的情况，该准则采用线弹性断裂力学的方法预测了当裂缝交互界面另一端的应力足够开启裂缝时交互界面上能够阻止裂缝滑动的裂缝尖端应力。考虑到水力裂缝与天然裂缝之间的夹角分布于0~90°之间，且夹角对水力裂缝是否穿越天然裂缝影响较大，有必要对原本的Renshaw与Pollard准则进行改进。 2.2 改进的Renshaw与Pollard准则 由图1所示，β是水力裂缝尖端与天然裂缝交互界面的夹角，远场应力场中裂缝尖端的最大、最小主应力σH、σh为







23cos2cos2sin2

23sin2sin12cos2

23sin2sin12cos2

rK

rKrKIxy

Ihy

IHx

（9）

式中，KI为应力强度因子；r与θ为裂缝尖端的极坐标；拉应力为正。 在裂缝交互壁面处开启新裂缝的条件为 01T（10）

参照Renshaw与Pollard准则，在θ=β或θ=β-π，r=rc处（如图1），其中rc为岩石发生弹性变形的临界半径，最大主应力可表示为

221)2(2xyyxyx（11）

主应力的方向为

yxxyp

22tan（12）

将式（10）代入式（11）可得

022)2(2Txyyxyx



（13）

式（13）可表示为

022)23cos2sin(23sin2sin)2(2TKKKhHhH

（14） 式中2cos2cIrKK，表示在已有裂缝另一侧壁面处形成新裂缝所需要的强度。当θ=β或θ=β-π时可通过式（14）求取K值。将式（14）重新整理可得

0)2(23sin2sin)2(22cos2222hHhHTKTK



（15） 式中20hHTT 以上二次方程中有两个解，K1与K2。K1为最大主应力等于抗张强度时的解，K2为最小主应力等于抗张强度时的解。根据方程（10）判定K1为有效根。根据Renshaw与Pollard准则准则，临界半径rc可表示为 2cos2IcKKr（16）

式（10）情况下发生的裂缝起裂必须在裂缝交界处不出现滑移的情况下才能发生，这样裂缝尖端的应力才可以作用于交界面上。对于岩石摩擦表面，交界面处不发生滑移的条件为

yS

0（17）

式中，μ为摩擦系数；S0为界面处的内聚力；与y分别为交界面处的剪应力与正应力；由远场地应力与裂缝尖端诱导应力叠加而来。远场地应力在交界面处的应力可由σH、σh表示







2sin2

2cos22

2cos22

,,,

hHr

hHhHyr

hHhHxr

（18）

裂缝尖端在交界面处的诱导应力为







2cos23cos2sin2sin23sin2sin2sin23cos2sin2cos23sin2sin2sin23cos2sin2cos23sin2sin

,,,

KKKKK

KKK

rytipxtip

（19）

综合剪切应力为 2sin22cos23cos2sin2sin23sin2sin,,hHrtipKK

（20）

作用在交界面上的综合正应力为

2cos222sin23cos2sin2cos23sin2sin,,hHhHyrytipyKKK

（21） 将式（17）由式（20）、（21）表示出来，当式（17）满足时，交互界面处不发生滑移，且拉伸主应力克服了岩石抗张强度。新的裂缝在交界面处起裂，穿越现象发生。如果式（17）不满足，发生滑移，则不会发生穿越。 考虑交互界面处的内聚力，Renshaw与Pollard准则可扩展为

06.135.035.000hH

T

S

•（22）

3 Blanton准则 Blanton提出了不同应力及接触角度下的裂缝交互准则数值解，可将实验结果运用到生产作业中。Blanton准则基于交互区域应力弹性解，假设水力裂缝遇天然裂缝时被钝化。准则认为，当交互处的缝内压力大于天然裂缝壁面上的正应力时天然裂缝张开。当起裂压力低于裂缝张开所需的压力时水力裂缝将穿过天然裂缝。准则可由数学公式表示，裂缝发生穿越时

0Tpt（23）

裂缝张开

0np（24）