光纤传输中的色散理论2011.2.14摘要：随着光纤通信系统中信号速率的提高和传输距离的增加，光纤的色散、非线性效应，以及二者之间的相互作用成为限制系统性能的重要因素。

目前，在光纤通信、色散补偿以及非线性光学等实际应用中，色散特性显得十分重要。

本文首先简单介绍了光纤通信的发展，重点讲述了光纤传输过程中的色散特性。

接着我们从麦克斯韦方程组出发,建立了光脉冲在光纤中传播的理论模型。

在只考虑色散效应的情况下,对该理论模型进行进一步的研究,数值模拟出高斯光脉冲在光纤中的传输状态,并讨论了色散对光脉冲传播特性的影响。

最后分别研究了光纤传输系统的几种色散补偿技术。

关键词：光脉冲，色散，麦克斯韦方程组，色散补偿Dispersion in Fiber TransmissionABSTRACT：Fiber dispersion ,fiber nonlinearity and their interaction become the essential limiting factors of fiber communication systems with theincreasing of bit rate and transmission distance. At present, dispersion characteristics are very important for realistic applications of optical fiber communications, dispersion compensation and nonlinear optics. The article introduces development of fiber communication ，and undertakes a detailed study of dispersion in fiber transmission. then we proceed from Maxwell’s equations to built a theoretic model that describes the propagation of optical pulse in fiber. A further discussion about this theoretic model is proposed in the case of only considering dispersion. The transmission state of Gauss optical pulse in fiber was simulated numerically ,and the influence of dispersion on transmission characteristics of optical pulse is discussed. Finally,the fundamental principle of dispersion compensation are given.Key words:optical pulse , dispersion, Maxwell’s equations ,dispersion compensation一 引 言数据业务，特别是占主导地位的IP 业务量的爆炸式增长，对数据网的带宽、传输距离、容量等性能提出了更高的要求。

在主干传输网中，光纤通信技术以其高速、长距离、大容量的特性而明显地优于其他技术[1]。

近年来，随着人们对通信带宽需求的迅速增长，光纤通信骨干网上单通道传输速率一直在朝着高速率、大容量和长距离的方向发展[2]，在过去的10年里，光传输速率提高了100倍。

在我国，随着经济的迅速发展，通信技术和通信市场也得到了飞速的发展。

单通道速率为10Gbit/s 的系统已经商用化，单信道速率正向40Gbit/s ，甚至更高速率发展[3]。

光纤通信发展的初期，甚至没有人怀疑过光纤传输的容量，但是随着光纤通信系统传输速率的不断提高，影响光纤通信系统的因素逐渐显露出来，如光纤损耗、各种色散、偏振相关、非线性等。

光纤损耗使光纤中光信号的能量不断衰减，实现长距离传输时需要在一定距离建立中继站，增强衰弱的信号。

损耗影响了光信号在光纤中被增强之前可以传输的最大距离[4]。

而在高速光通信系统中随着光纤制造技术的改进和提高，由于光放大器的出现，传统的光一电一光型中继器被光纤放大器所取代，新型光纤衰减系数不断减小以至于衰减己不是限制光纤传输的主要因素，色散受限距离己经取代了功率受限距离，而成为一个焦点[5]二 光纤色散基础2.1色散及其原理定义：色散是由于光纤中所传送信号的不同频率成分或不同模式成分的群速度不同 ,而引起传输信号畸变的一种物理现象。

在光纤中 ,脉冲色散越小 ,它所携带的信息容量就越大。

其链路的色散累积直接影响系统的传输性能 ,这在波分复用(WDM)系统中尤为重要。

原理：光是一种电磁波，其传播规律遵循麦克斯韦方程组[6]，从该方程组出发可以推导出光脉冲在光纤中传输时满足如下方程:0[()]z 2A ia i A βωβ∂=+-∂ (1) 式中：A 表示电场强的的频域慢变振幅；()βω为角频率分量ω的波数；a 为介质的损耗系数。

该方程为光脉冲在频域中传播时遵循的方程。

为简便起见，不考虑损耗[7]，取0a =。

将波数()βω在光脉冲中心频率0ω处进行泰勒级数展开得[8]：23010203011()()()()26βωββωωβωωβωω=+-+-+-+… (2) 式中：011g d d V ωωββω===为群速度色散的倒数；0222d d ωωββω==为群速度色散(GVD)，其物理意义是具有单位频率间隔的两个光波在光纤中传播单位距离时产生的时间差。

333d d ωωββω==为三阶色散[9]。

对于皮秒超短高斯脉冲，由于0ωω∆<<，因此展开式中的四次项及更高次项通常被忽略将式(2)代入式(1)，并做傅里叶逆变换，可以解得:231232310z t 26A A i A A t t βββ∂∂∂∂++-=∂∂∂∂ (3) 此方程就是光脉冲在光纤中传播时的基本方程，它清楚地表明了在光脉冲传输过程中，光纤色散对其波形的影响。

令1,g V T t t z z z z β''=-=-=，其中11gV β=，式(3)变为： 式(3)变成： 23232310z 26A i A A T Tββ∂∂∂+-='∂∂∂ (4) 对上式式进行傅里叶变换，0ωωΩ=-，得：23231z 26A i A A ββ∂=-Ω+Ω'∂ (5) 此方程即为光脉冲在传播过程中，其慢变振幅 A 满足的频域基本传播方程。

解此微分方程，得到脉冲振幅 A 在频域中的表示式：23231(,)(0,)exp[()]26i A z A A A z ββΩ=ΩΩ+Ω (6) 式中：(0,)A Ω表示光脉冲在光纤输入端的振幅。

对上式两边同时作逆傅里叶变换 ,得到光脉冲振幅 A 在时域中的表达式为：232311(,)(0,)e exp[()]226i t i A z t A A A z d ββπ+∞-Ω-∞=Ω⋅Ω+ΩΩ⎰(7) 这样就建立了光脉冲在光纤中传播的理论模型[10]。

接下来考虑实际中的一种特定情况。

单模光纤：通常的最低阶基模，在z=0处被一个时间高斯脉冲0(0,)exp()()e i t A t i F d ωΩ=ΩΩ⎰(8)其中， 2())4F αΩΩ=- (9) 是高斯包络2exp()t α-的傅里叶变换。

α为常数且2αω<<。

注意高斯函数的频谱函数仍是高斯函数。

为了获得输出平面z 处的场，需要用传输相位延迟因子0exp[()]βω-+Ω，得z 处场为：00(,)()exp{[()()]}A z t F i t z d ωβω=Ω+Ω-+ΩΩ⎰ (10) 由（2）可知0()βω+Ω在中心频率0ω处的泰勒展开为：0022002()()d d d d ωωβββωβωωω+Ω=+Ω+Ω+… (11) 代入(11)得： 2000011(,)exp[()]()exp{[()]}2exp[()](,)g g z d A z t i t z F i t z d V d V i t z z t ωβωωβξ+∞-∞Ω=-ΩΩ--ΩΩ≡-⎰ (12)其中00()ββω≡，此式与(7)一致，只不过(7)包含了三阶色散，在高速通信系统中三阶色散比二阶色散影响小的多，为简化计算式(12)忽略三阶色散影响场。

脉冲展宽的机理脉冲的展宽的物理解释是：对正常色散介质，电磁波的高频成分速度慢，而低频成 分速度快，脉冲后沿频率高于前沿，因而前沿传播比后沿快，当然脉冲随传播距离的 增加宽度也就随之增加；反之，对反常色散介质，脉冲后沿频率低于前沿，同样是前 沿传播快于后沿，脉冲同样被展宽。

由上文所知包络 (,)z t ξ表达式为：(,)()exp{[()]}g z z t F i t a z d V ξ+∞-∞=ΩΩ--ΩΩ⎰ (13) 式中：a 是常量，被定义为22(/)/2a d d βω=，当0a =时没有群速度色散，包络可以写成(,)()exp{()}[0,()]g gz z z t F i t d t V V ξξ+∞-∞=ΩΩ-Ω=-⎰ (14) 可以看出以群速度g V 传输的脉冲的包络保持不变。

脉冲展宽由GVD 导致的，而GVD 由参数a 表征，将()F Ω，即式(9)代入式(13)得：21(,)exp{[()()]}4gz z t iaz i t d V ξα+∞-∞=-Ω+-Ω-Ω (15) 计算积分得：2222222(/)4(/)(,))exp()1/161/16g g t z V az t z V z t i a a z a z ξαα--=-++ (16) z 处的脉冲持续时间可以写成半峰宽度（FHWM ）的形式，即：()z ττ= (17) 其中0τ为1/222()In α是初始脉冲半峰宽度。

而在光学工程中，群速度色散经常用：02224()c d c D a d ωπβπλωλ=-=- (18) 那么传播一段距离L 后，脉冲宽度表达式为：()L ττ= (19) 在220DL λτ>>下，上式化简为： 222()In DL L c λτπτ= (20) 我们可以把式(20)改写成：DL τλ∆=∆ (21)其中 222In c λλπτ∆= (22) 容易证明式(22)就是初始高斯包络傅里叶变换()F Ω的FWHM ，那么式(21)就清楚的反应了群速度色散D 随着传输距离不断增大能改变脉冲的宽度[11]。