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精品 统计学复习笔记
第七章
参数估计
一、 思考题
1． 解释估计量和估计值
在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值，样本比例、样本方差等。
根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。
2． 简述评价估计量好坏的标准
（1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。
（2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。
（3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。
3． 怎样理解置信区间
在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。
4． 解释95%的置信区间的含义是什么
置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%（的区间）包含参数。
不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以0.95的概率覆盖总体参数。
5． 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。
1. 估计总体均值时样本量n为
2. 样本量n与置信水平1-α、总体方差、估计误差E之间的关系为 其中：
22222222)(EznnzE2.
精品 ▪ 与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所需要的样本量越大；
▪ 与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大；
▪ 与与总体方差成正比，样本量与估计误差的平方成反比，即可以接受的估计误差的平方越大，所需的样本量越小。
二、 练习题
1． 从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。
1) 样本均值的抽样标准差xx等于多少？
2) 在95%的置信水平下，估计误差是多少？
解： 1） 已知σ = 5，n = 40， = 25
∵
∴ xx = 5 ／√40 ≈ 0.79
2） 已知
∵
∴ 估计误差 E = 1.96×5÷√40 ≈ 1.55
2． 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。
1) 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。
2) 在95%的置信水平下，求估计误差。
3) 如果样本均值为120元，求总体均值µ的95%的置信区间。
解：1）已知σ = 15，n = 49
∵ xnxnx2nzE2nxnxnxnx.
精品 ∴ xx = 15÷√49 = 2.14
2）已知
∵
∴ 估计误差 E = 1.96×15÷√49 ≈ 4.2
3）已知 = 120
∵ 置信区间为 ±E
∴ 其置信区间 = 120±4.2
3． 从一个总体中随机抽取n =100的随机样本，得到 =104560，假定总体标准差σ = 85414，试构建总体均值µ的95%的置信区间。
解： 已知n =100， =104560，σ = 85414，1-a＝95% ，
由于是正态总体，且总体标准差已知。总体均值m在1-a置信水平下的置信区间为
104560 ± 1.96×85414÷√100
= 104560 ±16741.144
4． 从总体中抽取一个n =100的简单随机样本，得到 =81，s=12。要求：
1） 构建µ的90%的置信区间。
2） 构建µ的95%的置信区间。
3） 构建µ的99%的置信区间。
解：由于是正态总体，但总体标准差未知。总体均值m在1-a置信水2nzE2xxxx228.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzxx.
精品 平下的置信区间公式为
81±×12÷√100 = 81±×1.2
1）1-a＝90%，1.65
其置信区间为 81 ± 1.98
2）1-a＝95% ，
其置信区间为 81 ± 2.352
3) 1-a＝99%，2.58
其置信区间为 81 ± 3.096
5． 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。
1） = 25，σ = 3.5，n =60，置信水平为95%
2） =119，s =23.89，n =75，置信水平为98%
3） =3.149，s =0.974，n =32，置信水平为90%
解：∵
∴ 1） 1-a＝95% ， 其置信区间为：25±1.96×3.5÷√60
= 25±0.885
2） 1-a＝98% ，则a=0.02, a/2=0.01, 1-a/2=0.99,查标准正态分布表,可知: 2.33
其置信区间为: 119±2.33×23.89÷√75
= 119±6.345 xxx22未知)(22未知或nszxnzx.
精品 3) 1-a＝90%，1.65
其置信区间为: 3.149±1.65×0.974÷√32
= 3.149±0.284
6． 利用下面的信息，构建总体均值µ的置信区间：
1） 总体服从正态分布，且已知σ = 500，n = 15， =8900，置信水平为95%。
解： N=15，为小样本正态分布，但σ已知。则1-a＝95%，。其置信区间公式为
∴置信区间为：8900±1.96×500÷√15=（8646.7 , 9153.2）
2） 总体不服从正态分布，且已知σ = 500，n = 35， =8900，置信水平为95%。
解：为大样本总体非正态分布，但σ已知。则1-a＝95%，。其置信区间公式为
∴置信区间为：8900±1.96×500÷√35=（8733.9 9066.1）
3） 总体不服从正态分布，σ未知，n = 35， =8900，s =500，置信水平为90%。
解：为大样本总体非正态分布，且σ未知，1-a＝90%，1.65。
其置信区间为： 8900±1.65×500÷√35=（8761 9039）
4） 总体不服从正态分布，σ未知，n = 35， =8900，s =500，置信水平为99%。 228.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzxxx228.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzxxx.
精品 解：为大样本总体非正态分布，且σ未知，1-a＝99%，2.58。
其置信区间为：8900±2.58×500÷√35=（8681.9
9118.1）
7． 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）（略）。求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%
解： 先求样本均值： = 3.32
再求样本标准差：
置信区间公式：
8． 从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本，各样本值分别为：10，8，12，15，6，13，5，11。求总体均值µ的95%置信区间。
解：本题为一个小样本正态分布，σ未知。
先求样本均值： = 80÷8=10
再求样本标准差：= √84/7 = 3.4641 .
精品 于是 , 的置信水平为 的置信区间是
,
已知 ，n = 8，则 ,α/2=0.025，查自由度为n-1 = 7的 分布表得临界值 2.45
所以，置信区间为： 10±2.45×3.4641÷√7
9． 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离分别是：10，3，14，8，6，9，12，11，7，5，10，15，9，16，13，2。假设总体服从正态分布，求职工上班从家里到单位平均距离的95%的置信区间。
解：小样本正态分布，σ未知。已知，n = 16，，则
, α/2=0.025，查自由度为n-1 = 15的 分布表得临界值
2.14
样本均值=150/16=9.375
再求样本标准差：= √253.75/15 ≈ 4.11
于是 , 的置信水平为 的置信区间是
, .
精品 9.375±2.14×4.11÷√16
10． 从一批零件是随机抽取36个，测得其平均长度是149.5，标准差是1.93。
1) 求确定该种零件平均长度的95%的置信区间。
2) 在上面估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请解释。
解：1） 这是一个大样本分布。已知N=36， = 149.5，S =1.93，1-α=0.95，。
其置信区间为：149.5±1.96×1.93÷√36
2）中心极限定理论证：如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这个总体的分布如何，随着样本容量 的增加，样本均值的分布便趋近正态分布。在现实生活中，一个随机变量服从正态分布未必很多，但是多个随机变量和的分布趋于正态分布则是普遍存在的。样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量 充分大的条件下，样本均值也趋近于正态分布，这为抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。
11． 某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为100克，现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量如下：（略）
已知食品包重服从正态分布，要求：
1） 确定该种食品平均重量的95%的置信区间。
2） 如果规定食品重量低于100克属于不合格，确定该批食x